Fonction logarithme/Exercices/Primitive d'une fraction rationnelle

Exercice 3-1

Quelles sont toutes les primitives sur $\mathbb {R} ^{*}$ de la fonction $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ ?

Solution

Toutes les fonctions de la forme

$x\mapsto {\begin{cases}C+\ln x&{\text{si }}x>0\\D+\ln |x|&{\text{si }}x<0\end{cases}}$

avec $C,D\in \mathbb {R}$.

 

Exercice 3-2

Le but de cet exercice est de calculer une primitive de la fonction $f$ définie par :

$f(x)={\frac {1}{-x^{2}+6x+16}}$.

1. Factoriser $-x^{2}+6x+16$.
2. Déterminer $a$ et $b$ pour que $f(x)={\frac {a}{-x+8}}+{\frac {b}{x+2}}$.
3. Déterminer une primitive de $f$ sur $[-1,1]$.

Solution

1.

Méthode générale

On cherche les deux racines du polynôme, à partir du discriminant :

$\Delta =b^{2}-4ac=36+4\times 16=36+64=100$

On a $\Delta >0$, donc le polynôme admet deux racines :

$x_{1}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {6+10}{2}}=8$ $x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {6-10}{2}}=-2$

Ainsi, on peut factoriser le polynôme sous la forme :

$-x^{2}+6x+16=-\left(x+2\right)\times \left(x-8\right)$

Méthode alternative

Une racine évidente de ce polynôme est x₁ = –2.

On sait que la somme des racines égale –b/a = 6 ; on en déduit la seconde racine x₂ = 8. On résout ainsi directement le problème :

$-x^{2}+6x+16=-\left(x+2\right)\times \left(x-8\right)$.

2. On a :

$f(x)={\frac {1}{-x^{2}+6x+16}}$

et l'on cherche $a$ et $b$ tels que :

$f(x)={\frac {a}{-x+8}}+{\frac {b}{x+2}}$.

Mettons ces fractions au même dénominateur :

${\begin{aligned}{\frac {a}{-x+8}}+{\frac {b}{x+2}}&={\frac {a(x+2)}{(-x+8)\times (x+2)}}+{\frac {b(-x+8)}{(-x+8)\times (x+2)}}\\&={\frac {ax+2a-bx+8b}{(-x+8)\times (x+2)}}\\&={\frac {(a-b)x+2a+8b}{(-x+8)\times (x+2)}}\\&={\frac {(a-b)x+2a+8b}{-x^{2}+6x+16}}\end{aligned}}$

Les nombres $a$ et $b$ sont ainsi solution lorsque :

${\begin{cases}a-b=0\\2a+8b=1.\end{cases}}$

On trouve : $a=b={\frac {1}{10}}$.

3. Nous allons mettre à profit la décomposition trouvée précédemment :

$f(x)={\frac {1/10}{-x+8}}+{\frac {1/10}{x+2}}$

En effet, on connaît des primitives des fonctions de la forme u'/u (ce sont des logarithmes $\ln |u|$). Dans notre cas, si l'on pose :

$u_{1}=-x+8$ et $u_{2}=x+2$,

en dérivant :

$u'_{1}=-1$ et $u'_{2}=1$.

Par conséquent :

${\frac {u'_{1}}{u_{1}}}=-{\frac {1}{-x+8}}$, ${\frac {u'_{2}}{u_{2}}}={\frac {1}{x+2}}$

et l'on peut réécrire $f$ sous la forme :

$f(x)=-{\frac {1}{10}}{\frac {u'_{1}}{u_{1}}}+{\frac {1}{10}}{\frac {u'_{2}}{u_{2}}}$.

On peut alors facilement trouver que les primitives de $f$ sont les fonctions :

$F(x)=-{\frac {1}{10}}\ln |8-x|+{\frac {1}{10}}\ln |x+2|+K$

où $K$ est une constante.