Exercices de mathématiques

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Voici une série d'exercices de mathématiques non directifs (une unique question) de niveau Mathématiques Spéciales (ou Supérieures pour quelques uns). Vous pouvez consulter la correction.

Sommaire

1 Exercice 1
2 Exercice 2
3 Exercice 3
4 Exercice 4
5 Exercice 5
6 Exercice 6
7 Exercice 7
8 Exercice 8
9 Exercice 9
10 Exercice 10
11 Exercice 11
12 Exercice 12
13 Exercice 13
14 Exercice 14
15 Exercice 15
16 Exercice 16
17 Exercice 17
18 Exercice 18
19 Exercice 19
20 Exercice 20
21 Exercice 21
22 Exercice 22
23 Exercice 23
24 Exercice 24
25 Exercice 25
26 Exercice 26
27 Exercice 27
28 Exercice 28
29 Exercice 29
30 Exercice 30
31 Exercice 31
32 Exercice 32
33 Exercice 33
34 Exercice 34
35 Exercice 35
36 Exercice 36
37 Exercice 37 (Suites)
38 Exercice 38 (Suites)
39 Exercice 39 (Suites)
40 Exercice 40 (Suites)
41 Exercice 41 (Suites)
42 Exercice 42 (Suites)
43 Exercice 43 (algèbre - topologie)
44 Exercice 44 (analyse - équations différentielles)
45 Exercice 45 (espaces préhilbertiens)
46 Exercice 46 (matrices)
47 Exercice 47 (matrices)
48 Exercice 48 (coniques)

[modifier] Exercice 1

Soit $\left.E\right.$ un sous-ensemble de $\mathbb{R}$ de cardinal 13. Montrer :

$\exists (x,y) \in E^2, 0 < \frac{x-y}{1+xy} \leq 2 - \sqrt{3}$

[modifier] Exercice 2

Soient $A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que $\left.AB=BA\right.$ . Montrer que $\text{det}(A^2+B^2) \geq 0$ .

[modifier] Exercice 3

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . Montrer que $\exp(A) \in \mathbb{C}[A]$ .

[modifier] Exercice 4

Soit $n \in \mathbb{N}$ . Résoudre dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ l'équation

$M^n = \left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 4 & 6 \\ \end{array} \right)$

[modifier] Exercice 5

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $\left.A^q = I_n\right.$ avec $q \in \mathbb{N}^*$ . Montrer :

$\dim \text{Ker} (A - I_n) = \frac{1}{q} \sum_{k=1}^q{\text{Tr} A^k}$

[modifier] Exercice 6

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ antisymétrique. Que dire de $\exp\left(A\right)$ ?

[modifier] Exercice 7

Donner une base de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ constituée de projecteurs.

[modifier] Exercice 8

Soit $\left.E\right.$ un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel de dimension finie. Déterminer les endomorphismes de $\left.E\right.$ qui sont représentés par la même matrice dans toutes les bases de $\left.E\right.$ .

[modifier] Exercice 9

Montrer qu'une matrice de rang 1 est nilpotente ou diagonalisable.

[modifier] Exercice 10

Donner un couple $\left(E,u\right)$ où $\left.E\right.$ est un $\mathbb{C}$ -espace vectoriel et $u \in \mathcal{L}(E)$ n'admettant pas de polynôme annulateur non nul.

[modifier] Exercice 11

Soit $N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ nilpotente qui commute avec sa transposée. Montrer que $\left.N=0\right.$ .

[modifier] Exercice 12

Soient $A \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R}), B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ . Montrer que $\left.AB\right.$ est diagonalisable.

[modifier] Exercice 13

Calculer $\int_0^{+\infty}{e^{-t} \ln t \, \mathrm{d}t}$ .

[modifier] Exercice 14

Soit $\left.E\right.$ un $\mathbb{C}$ -espace normé et $u : E \rightarrow \mathbb{C}$ une forme linéaire. Montrer que

$\left.u\right.$ est continue $\Leftrightarrow$ Ker $\left.u\right.$ est fermé dans $\left.E\right.$

[modifier] Exercice 15

Quelle est la nature de la série de terme général $\sin\left(\pi\left(3+\sqrt{5}\right)^n\right)$ ?

[modifier] Exercice 16

Convergence et somme de la série de terme général $\text{Arctan}\left(\frac{1}{n^2+n+1}\right)$

[modifier] Exercice 17

Soit $f : [0,1] \rightarrow [0,1]$ croissante. Montrer que $\left.f\right.$ admet un point fixe.

[modifier] Exercice 18

Donner une primitive de $x \mapsto \frac{1}{2 + \sin x}$ .

[modifier] Exercice 19

Nature de la série de terme général $u_n = \int_0^{+\infty}{e^{-t}\sin^{2n}(t) \, \mathrm{d}t}$ .

[modifier] Exercice 20

Déterminer $\lim_{n \rightarrow +\infty}{\int_0^{+\infty}{\frac{n e^{-x}}{1 + (nx)^2} \, \mathrm{d}x}}$ .

[modifier] Exercice 21

Définition, limite et équivalent de $I_n = \int_0^{+\infty}{\frac{e^{-n t^2}}{1+t^2} \, \mathrm{d}t}$ .

[modifier] Exercice 22

Soit $f(x) = \int_0^\pi{\ln \left(x^2-2x \cos \theta + 1 \right) \, \mathrm{d}\theta}$ . Étudier la définition de $\left.f\right.$ sur $\mathbb{R}$ puis calculer $\left.f(x)\right.$ .

[modifier] Exercice 23

Justifier, pour $x \in \mathbb{R}$ , l'existence de $\int_0^{+\infty}{\frac{e^{-t} \sin(tx)}{t} \, \mathrm{d}t}$ puis la calculer.

[modifier] Exercice 24

Montrer qu'il existe $(a_n)_{n \geq 0} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ telle que :

$\forall t \in \mathbb{R}, | \sin t | = \sum_{n=0}^{+\infty}{a_n \sin^2(nt)}$

[modifier] Exercice 25

Résoudre l'équation différentielle $\left. y'' + y = \text{cotan} \, x \right.$ sur $\left.]0,\pi[\right.$ .

[modifier] Exercice 26

Résoudre $\left. y^{(4)} - y = 0 \right.$ avec les conditions initiales $\left.y(0)=1,y'(0)=y''(0)=y'''(0)=0\right.$ .

[modifier] Exercice 27

Soit $\left.(E) \, : \, x'' + q(t) x = 0\right.$ avec $q : \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}$ continue et intégrable. Montrer que $\left(E\right)$ possède des solutions non bornées sur $\mathbb{R}_+$ .

[modifier] Exercice 28

Soit $f \in \mathcal{C}^1\left(\mathbb{R}^2,\mathbb{R}\right)$ telle que $\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} = 0$ . Etablir l'existence de $\varphi \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})$ telle que $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, f(x,y) = \varphi(y-x)$ .

[modifier] Exercice 29

Soit $\left.\mathcal{E}\right.$ une ellipse de centre $\left.O\right.$ . Calculer la distance maximale de $\left.O\right.$ aux normales à $\left.\mathcal{E}\right.$ .

[modifier] Exercice 30

Soient $A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ . On suppose que $\det(A) \wedge \det(B) = 1$ . Montrer qu'il existe $(U,V) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})^2$ tel que $\left.AU + BV = I_n\right.$ .

[modifier] Exercice 31

Déterminer le chiffre des unités de $7^{7^7}$ .

[modifier] Exercice 32

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\left.A\right.$ l'ensemble des polynômes unitaires de degré $\left.n\right.$ à coefficients dans $\mathbb{Z}$ et dont les racines complexes sont de module 1. Montrer que $\left.A\right.$ est fini.

[modifier] Exercice 33

Déterminer les polynômes $P \in \mathbb{C}[X]$ tels que $\left.X P(X+1) = (X+4) P(X)\right.$ .

[modifier] Exercice 34

Soient $A \in \mathcal{M}_{3,2}(\mathbb{R})$ et $B \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})$ telles que $AB = \left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{array}\right)$ . Montrer que $\left.BA=I_2\right.$ .

[modifier] Exercice 35

Soit $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ un vecteur de l'espace $\mathbb{R}^3$ et $b = - 1$ . Déterminer le vecteur $\vec{x}$ de $\mathbb{R}^3$ tel que $\vec{a}.\vec{x}=b$ . On se servira de l'équation suivante : $\vec{x}=\frac{b}{\|\vec{a}\|^2}\vec{a}+\vec{w}\wedge\vec{a}, \forall \vec{w} \in \mathbb{R}^3$

[modifier] Exercice 36

Soit $P 1$ le plan d'équation $x + y - z + 1 = 0$ et soit $P 2$ le plan d'équation $2 x + y + z + 2 = 0$ . Déterminer une équation paramétrique de la droite $D$ intersection de $P 1$ et de $P 2$ .

[modifier] Exercice 37 (Suites)

Calculer les sommes $S_1=\sum_{k=1}^{n} \sin(2kx)$ et $S_2=\sum_{k=1}^n k \sin(kx)$ pour $x \in \mathbb{R}$ .

[modifier] Exercice 38 (Suites)

Calculer les sommes suivantes :

$S_1=\sum_{p=1}^{n}p^{2}C_{n}^{p}$ .

$S_2=\sum_{p=0}^{n}\frac{C_{n}^{p}}{p+1}$ .

[modifier] Exercice 39 (Suites)

Calculer $(1 + k) 3$ .
En déduire la somme remarquable $S_2=\sum_{k=1}^{n}k^{2}$ .
Indication : Calculer la somme $\sum_{k=1}^{n}(1+k)^{3}$ .

[modifier] Exercice 40 (Suites)

Soit $P n$ la suite définie par: $P_n=\prod_{p=1}^{n} \cos\bigg(\frac{a}{2^p}\bigg)$ .

Calculer $P n$ .
En déduire $\lim_{n\rightarrow +\infty} P_{n}$ .

[modifier] Exercice 41 (Suites)

En utilisant l'inégalité suivante : $x-\frac{x^2}{2}\leqslant \ln(1+x)\leqslant x$ , calculer les limites suivantes :

$\lim_{n\rightarrow +\infty}{\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n}$ .
$\lim_{n\rightarrow +\infty}{\bigg(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\bigg)^n}$ .
En déduire $\lim_{n\rightarrow +\infty}{\bigg(1+\frac{1}{n^{\alpha}}\bigg)^n}$ suivant les valeurs de $α$ .

[modifier] Exercice 42 (Suites)

Calculer $\lim_{n\rightarrow +\infty}{\sqrt[n(n+1)]{n!}}$ .

[modifier] Exercice 43 (algèbre - topologie)

Montrer que tout sous-groupe additif de $\mathbb{R}$ est soit dense dans $\mathbb{R}$ , soit de la forme $a \mathbb{Z}$ avec $a \in \mathbb{R}_+$ .
Montrer que $\mathbb{Z} + 2 \pi \mathbb{Z}$ est dense dans $\mathbb{R}$ .
Montrer que $\overline{\sin \left( \mathbb{Z} \right)} = [-1,1]$ .

[modifier] Exercice 44 (analyse - équations différentielles)

Soit $f \in C^1\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)$ telle que $f + f^' \rightarrow_{+ \infty} 0$ . Montrer que $f \rightarrow_{+ \infty} 0$ .

[modifier] Exercice 45 (espaces préhilbertiens)

Soit $E$ un espace préhilbertien. Montrer qu'une norme sur $E$ provient d'un produit scalaire (i.e. il existe un produit scalaire $< .,. >$ tel que $\forall x \in E, < x , x > = \lVert x \rVert ^2$ ) ssi elle vérifie l'identité du parallélogramme (qu'on rappellera).

[modifier] Exercice 46 (matrices)

Montrer que deux matrices réelles semblables dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ le sont également dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ .

[modifier] Exercice 47 (matrices)

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ . Montrer que $A A t$ et $A t A$ sont semblables.

[modifier] Exercice 48 (coniques)

Soit $\mathcal{E}$ une ellipse de centre O. Donner la distance maximale de O aux normales à $\mathcal{E}$ .