Espaces vectoriels normés/Définitions - Éléments de Topologie

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Dans ce chapitre, on va introduire la notion de norme qui est centrale dans cette leçon. La norme d'un espace vectoriel normé (e.v.n.) est une donnée supplémentaire qui va nous permettre de dire quand des points vont être proches au sein de cet espace, c'est-à-dire que cela va nous donner une notion de distance sur l'espace.

Le lecteur est sûrement familier avec la norme euclidienne en géométrie où cette notion peut lui paraître claire. Avec cet exemple en tête, on va construire différentes normes sur un espace, et étudier le lien entre ces normes. En particulier, deux normes différentes peuvent donner les mêmes fonctions continues, comme nous le verrons dans le chapitre suivant, et nous dirons alors que les deux normes sont équivalentes.

L'un des domaines d'applications direct de ces notions est l'analyse fonctionnelle qui correspond à l'étude des espaces de fonctions. En effet, la notion de distance entre deux fonctions n'est pas intuitive, et il existe effectivement plusieurs normes non-équivalentes sur ces espaces.

Les espaces vectoriels normés vont également être l'occasion d'introduire le lecteur à la topologie. Cette théorie, qui peut paraître délicate en première approche, va permettre de définir et d'étudier les applications continues entre espaces. La topologie est à la base de l'analyse moderne qu'une personne intéressée par les mathématiques doit étudier.

Dans tout ce chapitre, $E$ est un $\mathbb {K}$-espace vectoriel avec $\mathbb {K} =\mathbb {R} {\text{ ou }}\mathbb {C}$.

Norme et distance

Définitions

Voyons tout d'abord la définition d'une norme. Il s'agit d'associer à tout vecteur d'un espace vectoriel $E$ un nombre réel positif qui correspondra à la « longueur » du vecteur. Dans cette définition, on a retenu seulement ce qui était indispensable pour dérouler la suite de la théorie, et en particulier pour pouvoir parler de distance. C'est ce qui peut la rendre relativement abstraite au premier abord mais qui fait la force de la notion.

Définition : norme d'espace vectoriel

Une norme sur $E$ est une application $\|\cdot \|:E\to \mathbb {R} ^{+}$ telle que $\forall x,y\in E\quad \forall \lambda \in \mathbb {K}$ :

• $\|x\|=0\Rightarrow x=0$ (séparation) ;
• $\|\lambda x\|=|\lambda |\|x\|$ (homogénéité) ;
• $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$ (inégalité triangulaire).

$(E,\|\cdot \|)$ est alors appelé espace vectoriel normé (abrégé en e.v.n.).

Début de l'exemple

Exemples

• Sur $\mathbb {K} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$, les trois normes les plus classiques sont $\|\cdot \|_{1}$, $\|\cdot \|_{2}$ et $\|\cdot \|_{\infty }$ :
  • $\|\cdot \|_{1}:x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto \|x\|_{1}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|$ ;
  • $\|\cdot \|_{2}:x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}$ : c'est la norme euclidienne ;
  • et plus généralement, pour tout réel $p\geq 1$ : $\|\cdot \|_{p}:x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto \|x\|_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}}}$ (normes de Hölder) ;
  • $\|\cdot \|_{\infty }:x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto \|x\|_{\infty }=\max _{i}|x_{i}|$.
  • Pour $n=1$, toutes ces normes coïncident avec l'application valeur absolue sur $\mathbb {R}$ (resp. module sur $\mathbb {C}$).
• Sur l'espace ${\mathcal {C}}^{0}([a,b],\mathbb {K} )$ des fonctions continues sur un segment $[a,b]$ à valeurs dans $\mathbb {K}$, on définit aussi :
  • pour tout réel $p\geq 1$ : $\|\cdot \|_{p}:f\mapsto \|f\|_{p}={\sqrt[{p}]{\int _{a}^{b}|f(x)|^{p}\;\mathrm {d} x}}$ ;
  • $\|\cdot \|_{\infty }:f\mapsto \|f\|_{\infty }=\sup _{x\in [a,b]}|f(x)|$ : on parle de norme « infini » ou norme « sup » ou norme de la convergence uniforme.

On vérifie en effet que pour tout $p\in \left[1,+\infty \right]$, $\|\cdot \|_{p}$ (sur $\mathbb {K} ^{n}$ ou sur ${\mathcal {C}}^{0}([a,b],\mathbb {K} )$) est bien une norme : le seul point non évident est l'inégalité triangulaire — appelée dans ce contexte « inégalité de Minkowski » — si $1<p<+\infty$. On trouvera une démonstration du cas général dans un exercice corrigé sur les fonctions convexes et du cas particulier $p=2$ dans un chapitre sur les espaces préhilbertiens.

Fin de l'exemple

Comme promis, à partir d'une norme on définit la distance entre deux vecteurs par :

Définition : distance entre deux vecteurs

Soient $x,y\in E$. La distance entre $x$ et $y$ est définie par :

$d(x,y)=\|x-y\|$.

Remarque

1. La distance ci-dessus vérifie les trois propriétés suivantes, pour tous $x,\ y,\ z\ \in E$, qui découlent directement des propriétés de la norme :

   • $d(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y$ (séparation)
   • $d(x,y)=d(y,x)$ (symétrie)
   • $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (inégalité triangulaire)

   Le lecteur familier avec les espaces métriques reconnaîtra les trois axiomes de distance.

2. La norme d'un vecteur est sa distance au vecteur nul.

On déduit de l'inégalité triangulaire la deuxième inégalité triangulaire :

Deuxième inégalité triangulaire

$\forall x,y\in E\quad \left|\|x\|-\|y\|\right|\leq \|x-y\|$.

Démonstration

Soient $x,\ y\ \in E$.
On a : $\|x\|=\|x-y+y\|\leq \|x-y\|+\|y\|$, et donc $\|x\|-\|y\|\leq \|x-y\|$.
On montre, de même, que $\|y\|-\|x\|\leq \|x-y\|$, ce qui termine la preuve.

 

Normes équivalentes

On arrive ici à un point crucial de ce chapitre : l'équivalence de deux normes. En effet, on peut définir sur un espace vectoriel de nombreuses normes comme nous l'avons vu dans les exemples ci-dessus. Cependant, du point de vue de l'analyse ce n'est pas tant la valeur de la norme qui est importante que de savoir si des points sont proches l'un de l'autre (pour calculer une limite par exemple). Ainsi, deux normes peuvent être différentes mais conduire à la même notion de "proximité" (on parle alors de voisinage comme nous le verrons plus bas), on dit ainsi que les normes sont équivalentes, ce que l'on traduit dans la définition suivante :

Définition : équivalence de normes

Soient $\|\cdot \|_{1}$ et $\|\cdot \|_{2}$ deux nomes sur un même e.v.n. $E$. On dit que $\|\cdot \|_{1}$ est équivalente à $\|\cdot \|_{2}$ s’il existe deux réels $\alpha >0$ et $\beta$ tels que :

$\forall x\in E\quad \alpha \|x\|_{1}\leq \|x\|_{2}\leq \beta \|x\|_{1}$.

Remarque

1. La relation « est équivalente à » est une relation d'équivalence sur l'ensemble des normes sur $E$, ce qui justifie le nom.
2. Avoir deux normes équivalentes nous permettra lorsque l'on fera de l'analyse (limite, continuité...) de choisir la norme la plus confortable pour les calculs.
3. Pour montrer que deux normes ne sont pas équivalentes, il faut montrer que $\sup _{x\in E}{\frac {\|x\|_{1}}{\|x\|_{2}}}=+\infty$ (ou le quotient inverse). Pour cela, on peut trouver une suite $(x_{n})$ tel que ${\frac {\|x_{n}\|_{1}}{\|x_{n}\|_{2}}}\to +\infty$. Cette méthode est à retenir car c'est la plus utilisée en pratique.

Exemples : Les affirmations suivantes seront démontrées en exercice.

1. Sur $\mathbb {K} ^{n}$, les exemples de normes vu précédemment sont toutes équivalentes entre elles.

   Nous verrons même plus loin que toutes les normes sur un espace vectoriel réel de dimension finie sont équivalentes.

2. Sur ${\mathcal {C}}^{0}([a,b],\mathbb {R} )$, les normes $\|\cdot \|_{\infty }$ et $\|\cdot \|_{p}$ ne sont pas équivalentes.

Constructions de normes

Nous allons voir maintenant deux méthodes classiques qui permettent d'obtenir des e.v.n.. La première répond à la question suivante : si $F$ est un s.e.v. d'un e.v.n. $E$ existe-t-il une norme canonique sur cet espace? La réponse est tout simplement donnée par la restriction à $F$ de la norme de $E$.

Définition : norme induite

Soit $F$ un s.e.v. d'un e.v.n. $(E,\|\cdot \|)$. La restriction $\|\cdot \||_{F}$ de la norme de $E$ est une norme sur $F$, appelée norme induite.

Remarque

Le fait que la norme induite soit une norme est évident car les axiomes d'une norme sont vérifiés.

La deuxième situation que nous sommes amenés à considérer régulièrement est donnée par les produits d'e.v.n.. En effet, si $(E,\|\cdot \|_{E}),\ (F\|\cdot \|_{F})$ sont deux e.v.n., existe-t-il une norme « pratique » sur l'espace vectoriel $E\times F$ ? Ici, par « pratique », on souhaite que la norme choisie rende les projections continues, ce que l'on vérifiera au chapitre suivant. Cette fois, la réponse est donnée par la norme produit :

Définition : norme produit

Soient $(E,\|\cdot \|_{E})$ et $(F\|\cdot \|_{F})$ deux e.v.n.. L'application

${\begin{aligned}\|\cdot \|:&\ E\times F&\to &\ \mathbb {R} _{+}\\&\ (x,y)&\mapsto &\ \max(\|x\|_{E},\|y\|_{F})\end{aligned}}$

est une norme, appelée norme produit sur $E\times F$.

Remarque

Le fait que la norme produit soit bien une norme est laissé en exercice au lecteur.

Introduction à la topologie

Boules, voisinages, ouverts et fermés

Représentation de B(0,1) pour trois normes classiques sur $\mathbb {R} ^{2}$.

On va maintenant introduire le lecteur à la topologie. Pour commencer, nous allons définir, à l'aide de la distance associée à la norme, les notions de boules ouvertes, de boules fermées et de sphères. Ces outils nous permettront de définir ensuite ce que l'on appelle la topologie de l'espace.

Définitions : boules d'un e.v.n.

Soient $x\in E$ et $r>0$.

• La boule ouverte de centre $x$ et de rayon $r$ est l'ensemble $B(x,r)=\{y\in E\mid \|y-x\|<r\}$.
• La boule fermée de centre $x$ et de rayon $r$ est l'ensemble $B_{F}(x,r)=\{y\in E\mid \|y-x\|\leq r\}$.
• La sphère de centre $x$ et de rayon $r$ est l'ensemble $S(x,r)=\{y\in E\mid \|y-x\|=r\}$.

Si une confusion est possible quant à la norme utilisée, on notera en indice la norme en question. Par exemple, pour une boule ouverte centrée en $x$ et de rayon $r$, on aurait : $B_{\|\cdot \|}(x,r)$

Remarques

1. Attention, les boules définies ci-dessus ne sont pas forcément des « boules » au sens commun du terme, comme en témoignent les boules représentées ci-contre. Cette subtilité est généralement source de confusion pour le débutant.
2. Encore une fois, et dans tout ce qui suit, si vous êtes familier avec la topologie et les espaces métriques, vous reconnaîtrez les définitions générales des boules d'un espace métrique. Par ailleurs, sauf si vous voulez revoir des notions connues, il est possible de passer dès à présent au chapitre suivant si vous êtes familier avec ces notions.
3. Dans $\mathbb {R}$, les boules ouvertes sont les intervalles ouverts.

À l'aide de ces définitions, on va pouvoir donner une définition formelle de la « proximité » entre des points : c'est la notion de voisinage. Ceci nous servira pour définir de nombreuses notions topologique plus bas, ainsi que les notions de limite, et de fonction continue sur un e.v.n. dans le chapitre suivant.

Définition : voisinage d'un point dans un e.v.n.

Soit $x\in E$. Une partie de $E$ est un voisinage de $x$ si elle contient une boule ouverte de centre $x$.

Exemples :

1. Toute boule (ouverte ou fermée) centrée en $x$ est un voisinage de $x$.
2. Sur $\mathbb {R}$, un intervalle $]a,b[$ est voisinage de chacun de ses points. Cette remarque est à l'origine de la généralisation de la définition suivante.

Une fois définis les voisinages, on va pouvoir définir les notions de sous-ensemble ouvert et fermé d'un espace. Ces deux notions sont au centre de la topologie et donc de toute l'analyse. Intuitivement, un espace va être ouvert s'il n'a pas de « bord », et un fermé sera le complémentaire d'une ouvert. Le premier exemple est celui des intervalles de $\mathbb {R}$ où le vocabulaire est identique.

Définitions : ouverts et fermés d'un e.v.n.

Soit $A\subset E$.

• $A$ est un ouvert de $E$ s'il est un voisinage de chacun de ses points.
• $A$ est un fermé de $E$ si son complémentaire est un ouvert de $E$.
• L'ensemble des ouverts est appelé la topologie de $E$, souvent noté $\mathrm {T}$.

Remarques

1. Les ensembles $E$ et $\varnothing$ sont ouverts, et donc fermés car complémentaires l'un de l'autre.
2. On peut être à la fois ouvert et fermé (cf 1.), mais aussi ni fermé ni ouvert (comme un intervalle semi-ouvert $[a,b[$). Ce n'est pas parce que l'on n'est pas ouvert que l'on est fermé ! Ceci constitue également l'une des erreurs classiques.
3. Sur $\mathbb {R}$, les intervalles ouverts sont des ouverts, et les intervalles fermés sont des fermés : le vocabulaire retenu est donc cohérent.

Voyons maintenant quelques propriétés topologiques des ouverts et des fermés. La démonstration de cette proposition est essentielle à bien comprendre pour se familiariser avec ces notions.

Proposition

1. Les boules ouvertes (resp. fermées) d'un e.v.n. sont des ouverts (resp. des fermés) de $E$.
2. Une intersection finie d'ouverts est encore un ouvert.
3. Tout ouvert est réunion de boules ouvertes.
4. Toute réunion d'ouverts est un ouvert.
5. Toute intersection de fermés est un fermé.
6. Une réunion finie de fermés est un fermé.

Démonstration

Montrons les propriétés 1., 2. et 3.. La propriété 4. est évidente, et la propriété 5. s'en déduit par passage au complémentaire.

1. • Montrons tout d'abord qu'une boule ouverte est un ouvert. Soit $x\in E$, et $R>0$. Soit $y\in B(x,R)$.

     Alors, le réel $r:=R-\|y-x\|$ est strictement positif et pour tout $z\in B(y,r)$, on a :

     $\|z-x\|\leq \|z-y\|+\|y-x\|<r+\|y-x\|=R$.

     Ceci prouve que $B(y,r)\subset B(x,R)$, et donc que $B(x,R)$ est un ouvert.

   • Montrons maintenant qu'une boule fermée est un fermé. Pour cela, on montre que son complémentaire est un ouvert. Soit $x\in E$, et $R>0$. Soit $y\in E\setminus B_{F}(x,R)$.

     Alors, le réel $r:=\|y-x\|-R$ est strictement positif et pour tout $z\in B(y,r)$, on a, par la seconde inégalité triangulaire :

     $\|x-z\|\geq \|x-y\|-\|z-y\|>\|x-y\|-r=R$.

     On a donc montré que $B(y,r)\subset E\setminus B_{F}(x,R)$, ce qui prouve que $B_{F}(x,R)$ est fermé.

2. Soient $O_{1}$ et $O_{2}$ deux ouverts de $E$. Soit $x\in O_{1}\cap O_{2}$. Alors, il existe $r_{1},r_{2}\in \mathbb {R} _{+}^{*}$ tels que $B(x,r_{1})\subset O_{1}$ et $B(x,r_{2})\subset O_{2}$.

   On a donc : $B(x,\min(r_{1},r_{2}))\subset O_{1}\cap O_{2}$, et donc $O_{1}\cap O_{2}$ est un ouvert.

3. Soit $O$ un ouvert de $E$. Alors, tout point de $O$ appartient à une boule ouverte incluse dans $O$.

   On a donc : $O=\bigcup _{B{\text{ boule ouverte}} \atop B\subset O}B$, ce qui termine la preuve.

 

Remarques

Les propriétés 2. et 6. sont fausses si l'on considère une intersection infinie d'ouvert ou une union infinie de fermés. Pour le premier contre-exemple, considérer l'ensemble suivant ${\underset {n\in \mathbb {N} }{\cap }}]-{\frac {1}{n}};{\frac {1}{n}}[=\{0\}$ qui est fermé. Pour le second contre-exemple, considérer l'ensemble ${\underset {n\in \mathbb {N} }{\cup }}[0;1+{\frac {1}{n}}]=[0;1[$ qui n'est ni ouvert ni fermé.

Nous avons pu, à l'aide de la norme, définir les boules ouvertes, puis les ouverts d'un espace qui forment la topologie de cet espace. Cependant, si nous disposons de deux normes différentes nous n'obtenons pas, a priori, les deux mêmes topologies, c'est-à-dire que les ouverts peuvent être différents. La proposition suivante nous indique quand deux normes définissent la même topologie, et nous montre l'importance de la notion d'équivalence des normes.

Proposition

Soient $\|\cdot \|_{1}$ et $\|\cdot \|_{2}$ deux normes sur $E$. Notons $\tau _{1}$ (resp. $\tau _{2}$) l'ensemble des ouverts de $E$ pour $\|\cdot \|_{1}$ (resp. pour $\|\cdot \|_{2}$). Alors :

$\|\cdot \|_{1}$ et $\|\cdot \|_{2}$ sont équivalentes si et seulement si $\tau _{1}=\tau _{2}$.

Démonstration

• Supposons que $\|\cdot \|_{1}$ et $\|\cdot \|_{2}$ sont équivalentes.

  Alors, $\exists \alpha ,\ \beta \in \mathbb {R} _{+}^{*}$ tels que $\forall x\in E\quad \alpha \|x\|_{1}\leq \|x\|_{2}\leq \beta \|x\|_{1}$.

  Soit $O\in \tau _{1},\ a\in O$. Par définition des ouverts : $\exists r\in \mathbb {R} _{+}^{*}$ tel que $B_{\|\cdot \|_{1}}(a,r)\subset O$. On a ainsi : $B_{\|\cdot \|_{2}}(a,\alpha r)\subset B_{\|\cdot \|_{1}}(a,r)\subset O$. Ce qui prouve que $O$ est un voisinage de chacun de ses points pour la norme $\|\cdot \|_{2}$, et donc que $\tau _{1}\subset \tau _{2}$.

  On montre l'inclusion réciproque en permutant les rôles de $\|\cdot \|_{1}$ et $\|\cdot \|_{2}$, ce qui termine de montrer que $\tau _{1}=\tau _{2}$.

• Réciproquement, supposons que $\tau _{1}=\tau _{2}$.

  On a alors : $B_{\|\cdot \|_{1}}(0,1)\in \tau _{1}\subset \tau _{2}$, ce qui nous indique que $B_{\|\cdot \|_{1}}(0,1)$ est un voisinage de $0$ pour la norme $\|\cdot \|_{2}$. Il va donc exister $r\in \mathbb {R} _{+}^{*}$ tel que $B_{\|\cdot \|_{2}}(0,r)\subset B_{\|\cdot \|_{1}}(0,1)$

  On en déduit alors, pour $x\in E$ non nul, que :

  ${\begin{aligned}\forall t\in \left]0,r\right[\quad \left\|{\frac {t}{\|x\|_{2}}}x\right\|_{2}=t<r&\Rightarrow {\frac {t}{\|x\|_{2}}}x\in B_{\|\cdot \|_{2}}(0,r)\subset B_{\|\cdot \|_{1}}(0,1)\\&\Rightarrow \left\|{\frac {t}{\|x\|_{2}}}x\right\|_{1}<1\\\\&\Rightarrow \|x\|_{1}<{\frac {1}{t}}\|x\|_{2},\end{aligned}}$

  d'où $\|x\|_{1}\leq {\frac {1}{r}}\|x\|_{2}$. Comme précédemment, en permutant les rôles de $\|\cdot \|_{1}$ et $\|\cdot \|_{2}$, on obtient l'existence de $\beta \in \mathbb {R} _{+}^{*}$ tel que $\|x\|_{2}\leq \beta \|x\|_{1}$ pour tout $x\in E$, ce qui termine la preuve.

 

Adhérence, intérieur, frontière et densité

Voyons maintenant d'autres définitions fondamentales de topologie : les notions d'intérieur, d'adhérence et de frontière d'une partie $A$ d'un espace $E$. Il s'agit de donner un sens précis à l'idée qu'un point soit à l'intérieur ou au bord d'un espace, ce qui est représenté graphiquement dans l'exemple suivant la définition. Intuitivement un point sera dit intérieur à $A$ s'il y a assez de « place » dans $A$ autour de lui, ce que l'on traduit par la possibilité de trouver une boule ouverte centrée en ce point et incluse dans $A$. Un point sera dit adhérent s'il est « collé » à l'espace, ce que l'on va traduire par l'idée que toute boule ouverte centrée en ce point rencontre $A$. Et finalement, un point est sur la frontière de $A$ s'il est au « bord » de $A$, c'est-à-dire s'il est adhérent à $A$ sans être intérieur.

Définitions : intérieur, adhérence et frontière

Soit $A\subset E$.

• Un point $x\in A$ est dit intérieur à $A$ si $A$ est un voisinage de $x$.
  L'intérieur de $A$ est l'ensemble, noté ${\stackrel {\ \circ }{A}}$, des points intérieurs à $A$, ou encore : le plus grand ouvert contenu dans $A$.
• Un point $x\in E$ est dit adhérent à $A$ si tout voisinage de $x$ rencontre $A$.
  L’adhérence de $A$ est l'ensemble, noté ${\overline {A}}$, des points adhérents à $A$, ou encore : le plus petit fermé contenant $A$.
• La frontière de $A$ est l'ensemble, noté $\mathrm {Fr} (A)$, des points de $E$ adhérents à $A$ mais non intérieurs à $A$ : $\operatorname {Fr} (A)={\bar {A}}\setminus {\stackrel {\ \circ }{A}}$.

Début de l'exemple

Exemple

Sur l'image ci-dessus, si l'on appelle $A$ l'ensemble informe en vert clair, alors :

• les points $W$ et $B$ sont adhérents à $A$, mais $Z$ ne l'est pas ;
• seul le point $W$ est intérieur à $A$ ;
• seul le point $B$ appartient à la frontière de $A$.

Fin de l'exemple

Terminons ce chapitre par une dernière notion importante : la densité. Un espace $A$ sera dense dans $E$ si son adhérence contient $E$. Ici, il faut se dire que pour tout point de $E$, on peut trouver un point de $A$ aussi proche que l'on veut de $x$. Le lecteur attentif remarquera qu'il y a un lien avec la notion de limite, ce qui sera le cas une fois la notion de limite introduite.

Définition : partie dense

$A\subset E$ est dense dans $E$ si ${\overline {A}}=E$, ou encore, si $A$ rencontre tout ouvert non vide de $E$.

Début de l'exemple

Exemple (à connaître)

$\mathbb {Q}$ et $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ sont denses dans $\mathbb {R}$.

Fin de l'exemple

Topologie d'une partie de $E$

Nous allons maintenant nous intéresser aux ouverts d'une partie $A$ de $E$. En effet, dans la pratique nous devons étudier des fonctions définies sur une partie d'un e.v.n. et il va être nécessaire d'avoir définie les ouverts et les fermés de cette partie afin de parler de continuité. Nous avons également besoin de ces notions pour parler de connexité dans un chapitre ultérieur. Nous avons déjà répondu à cettequestion dans le cas où $A$ est un sous-espace vectoriel de $E$ où les ouverts sont définies comme précédemment à l'aide de la norme induite. Voyons maintenant la définition dans le cadre général :

Définition : topologie induite

Soit $A$ une partie de $E$. Les ouverts de $A$ sont les $O\cap A$ où $O$ est un ouvert de $E$. L'ensemble de ces ouverts est appelé la topologie induite sur $A$ par la topologie de $E$, ou plus simplement topologie induite. On la note $\tau _{A}$.

Remarque

• La définition peut paraître délicate mais elle fait sens dans le cadre de la topologie générale.
• Cette notion peut être délicate à manier. Voyons cela sur un exemple : l'intervalle $[0,1[$ n'est ni ouvert ni fermé pour la topologie de $\mathbb {R}$ mais c'est un ouvert de $[0,2]$ car c'est l'intersection entre $]-1,1[$ et $[0,2]$ (par exemple).
• Toutes les définitions vues précédemment dans $E$ restent valables dans $A$. Par exemple, on peut déterminer l'adhérence dans $A$ d'une partie $B$ de $A$.

À ce stade, le lecteur peut se sentir submergé par les nombreuses notions vues dans ce chapitre mais avec l'habitude ces notions deviendront, nous l'espérons, intuitives pour qui aura pris le temps de bien les étudier. De plus, nous verrons dès le chapitre suivant comment ces définitions vont permettre de définir de manière assez intuitive les notions de limites et de continuité dans un e.v.n., ce qui les rend incontournables.