Espace vectoriel/Exercices/Espaces et sous-espaces vectoriels

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Espaces et sous-espaces vectoriels
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Exercices no1
Leçon : Espace vectoriel
Chapitre du cours : Définitions

Cet exercice est de niveau 13.

Exo préc. : Sommaire
Exo suiv. : Rang, dimension
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Espace vectoriel/Exercices/Espaces et sous-espaces vectoriels
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  • \mathbb K désigne \R ou \mathbb C
  • E est un \mathbb K-espace vectoriel.

Être ou ne pas être un espace vectoriel ?[modifier | modifier le wikicode]

1. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de \R^2 ?

a. E_{1a}=\{(x,y)\in\R^2,x\leq y\}
b. E_{1b}=\{(x,y)\in\R^2,xy=0\}
c. E_{1c}=\{(x,y)\in\R^2,x=y\}
d. E_{1d}=\{(x,y)\in\R^2,x+y=1\}

2. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de \R^{\mathbb N} ?

a. E2a = Ensemble des suites bornées
b. E2b = Ensemble des suites monotones
c. E2c = Ensemble des suites convergentes
d. E2d = Ensemble des suites arithmétiques

3. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de \mathcal F(\R,\R) ?

a. E_{3a}=\{f\in\mathcal F(\R,\R),f\textrm{~monotone}\}
b. E_{3b}=\{f\in\mathcal F(\R,\R),f\textrm{~s'annule~en~}0\}
c. E_{3c}=\{f\in\mathcal F(\R,\R),f\textrm{~s'annule}\}
d. E_{3d}=\{f\in\mathcal F(\R,\R),f\textrm{~est~impaire}\}


Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Soient les sous-ensembles de \R^3 suivants :

  • F=\{(x,y,z)\in\R^3,x+y-z=0\}
  • G=\{(a-b,a+b,a-3b),(a,b)\in\R^2\}

1. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de \R^3.

2. Déterminer F\cap G.

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que F\cap G=F+G\Leftrightarrow F=G

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que F\cup G est un sous-espace vectoriel de E \Leftrightarrow F\subset G ou G\subset F.

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

Soient les espaces :

  • F=\left\{f\in\mathcal C([-1;1],\mathbb C),~\int_{-1}^1f(t)~\mathrm dt=0\right\}
  • G=\left\{f\in\mathcal C([-1;1],\mathbb C),~f\textrm{~constante}\right\}

Montrer que F et G sont deux sous-espaces supplémentaires de \mathcal C([-1;1],\mathbb C).



Espace vectoriel
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