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Espace vectoriel/Exercices/Espaces et sous-espaces vectoriels

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Espaces et sous-espaces vectoriels
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Exercice 1
Leçon : Espace vectoriel
Chapitre du cours : Définitions

Cet exercice est de niveau 13.
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Espace vectoriel/Exercices/Espaces et sous-espaces vectoriels  », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

  • \mathbb K désigne \R ou \mathbb C
  • E est un \mathbb K-espace vectoriel.

Sommaire

[modifier] Être ou ne pas être un espace vectoriel ?

1. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de \R^2 ?

a. E_{1a}=\{(x,y)\in\R^2,x\leq y\}
b. E_{1b}=\{(x,y)\in\R^2,xy=0\}
c. E_{1c}=\{(x,y)\in\R^2,x=y\}
d. E_{1d}=\{(x,y)\in\R^2,x+y=1\}

2. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de \R^{\mathbb N} ?

a. E2a = Ensemble des suites bornées
b. E2b = Ensemble des suites monotones
c. E2c = Ensemble des suites convergentes
d. E2d = Ensemble des suites arithmétiques

3. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de \mathcal F(\R,\R) ?

a. E_{3a}=\{f\in\mathcal F(\R,\R),f\textrm{~monotone}\}
b. E_{3b}=\{f\in\mathcal F(\R,\R),f\textrm{~s'annule~en~}0\}
c. E_{3c}=\{f\in\mathcal F(\R,\R),f\textrm{~s'annule}\}
d. E_{3d}=\{f\in\mathcal F(\R,\R),f\textrm{~est~impaire}\}


Solution
Série 1

a. v_1\begin{array}{|l}1\\2\end{array} \in E_{1a} et -v_1\begin{array}{|l}-1\\-2\end{array} \not\in E_{1a}

Donc E1a n'est pas un sous-espace vectoriel de \R^2.


b. v_1\begin{array}{|l}1\\0\end{array} \in E_{1b} et v_2\begin{array}{|l}0\\1\end{array} \in E_{1b}

(v_1+v_2)\begin{array}{|l}1\\1\end{array} \not\in E_{1b}
Donc E1b n'est pas un sous-espace vectoriel de \R^2.


c. Soit (\lambda,v_1,v_2)\in\R\times E_{1c}^2

\exists x_1\in\R^2,~v_1\begin{array}{|l}x_1\\x_1\end{array}
\exists x_2\in\R^2,~v_2\begin{array}{|l}x_2\\x_2\end{array}
(\lambda v_1+v_2)\begin{array}{|l}\lambda x_1+x_2\\\lambda x_1+x_2\end{array}
Donc \forall(\lambda,v_1,v_2)\in\R\times E_{1c}^2,~\lambda v_1+v_2\in E_{1c}
Donc E1c est un sous-espace vectoriel de \R^2.


d. v_1\begin{array}{|l}1\\0\end{array} \in E_{1d} et v_2\begin{array}{|l}0\\1\end{array} \in E_{1d}

(v_1+v_2)\begin{array}{|l}1\\1\end{array} \not\in E_{1d}
Donc E1d n'est pas un sous-espace vectoriel de \R^2.
Série 2

a. Oui b. Non c. Oui d. Oui

Série 3

a. Non b. Oui c. Non d. Oui

[modifier] Exercice 1

Soient les sous-ensembles de \R^3 suivants :

  • F=\{(x,y,z)\in\R^3,x+y-z=0\}
  • G=\{(a-b,a+b,a-3b),(a,b)\in\R^2\}

1. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de \R^3.

2. Déterminer F\cap G.

Solution

1.

  • Soient \lambda \in \R, u_1 = (x_1,y_1,z_1), u_2 = (x_2,y_2,z_2) \in F. Alors λu1 + u2 = (λx1 + x2,λy1 + y2,λz1 + z2) \ \rm{et} \ (λx1 + x2) + (λy1 + y2) − (λz1 + z2) = λ(x1 + y1 + z1) − (x2 + y2 + z2) = 0

F est bien un sous espace vectoriel de \R^3

  • Soient \lambda \in \R, x_1,x_2 \in G. Il existe alors a_1, b_1, a_2, b_2 \in\R^4 tels que

x1 = (a1 − b1,a1 + b1,a1 − 3b1) et x2 = (a2 − b2,a2 + b2,a2 − 3b2)

Alors λx1 + x2 = (λ(a1 − b1) + a2 − b2,λ(a1 + b1) + a2 + b2,λ(a1 − 3b1) + a2 − 3b2) = ((λa1 + a2) − (λa2 + b2),(lambdaa1 + b1) + (λa2 + b2),(λa1 + b1) − 3(λa2 + b2)) G est bien un sous espace vectoriel de \R^3

2. Si x \in F\cap G, alors il vérifie :

x=(a-b,a+b,a-3b) et (a-b) + (a+b)-(a-3b) = 0, (a,b) \in \R^2

Le couple (a,b) vérifie alors a + 3b = 0.

Ainsi, F\cap G \subseteq \{(-4b,-2b,-6b),b\in\R\} = \rm{vect} \{(2,1,3)\}

Réciproquement, on vérifie que le vecteur (2,1,3) est bien dans F et dans G, ce qui permet de conclure :

F\cap G = \rm{vect} \{(2,1,3)\}

[modifier] Exercice 2

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que F\cap G=F+G\Leftrightarrow F=G

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. Comment faire ?

[modifier] Exercice 3

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que F\cup G est un sous-espace vectoriel de E \Leftrightarrow F\subset G ou G\subset F.


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Solution

Montrons la contraposée de \Leftarrow :
Soit F\not\subset G et G\not\subset F.
Il existe alors un x_F \in F tel que x_F \not\in G et un x_G \in G tel que x_G \not\in F. Par ailleurs, nous avons x_F \in F\cup G et x_G \in F\cup G.
Prenons un y tel que y = xF + xG et supposons que y \in F\cup G. Alors soit y \in F, soit y \in G.

Supposons que y \in F :
Alors x_G \in F car x_G=y-x_F \in F, ce qui est absurde.

Supposons maintenant que y \in G :
Alors x_F \in G car x_F=y-x_G \in G, ce qui est également absurde.

Finalement, nous avons x_F \in F\cup G et x_G \in F\cup G mais x_F+x_G \not\in F\cup G.
Donc F\cup G n'est pas un sous-espace vectoriel de E.



Montrons maintenant \Rightarrow :

[modifier] Exercice 4

Soient les espaces :

  • F=\left\{f\in\mathcal C([-1;1],\mathbb C),~\int_{-1}^1f(t)~\mathrm dt=0\right\}
  • G=\left\{f\in\mathcal C([-1;1],\mathbb C),~f\textrm{~constante}\right\}

Montrer que F et G sont deux sous-espaces supplémentaires de \mathcal C([-1;1],\mathbb C).

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. Comment faire ?

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