Entraînement à l'épreuve de mathématiques du baccalauréat (France)/Bac S 2007 (Métropole)

Une page de Wikiversité.

< Entraînement à l'épreuve de mathématiques du baccalauréat (France)

Cette page n'est pas finie. Elle est en phase d'écriture ou de restructuration importante.

Son état actuel est provisoire et doit être pris avec prudence.
Une version améliorée est en préparation et devrait être disponible prochainement. Pour en suivre l'avancement ou y participer, veuillez consulter la page de discussion.

**Bac S 2007 (Métropole)**
Leçon : Entraînement à l'épreuve de mathématiques du baccalauréat (France)

Chapitre 1
Retour au	Sommaire
Chap. suiv. :	Bac ES 2007 (Métropole)

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Entraînement à l'épreuve de mathématiques du baccalauréat (France) : Bac S 2007 (Métropole)
Entraînement à l'épreuve de mathématiques du baccalauréat (France)/Bac S 2007 (Métropole) », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Sujet

Pour télécharger le sujet de cette épreuve, cliquer sur ce lien

[modifier] Explications

[modifier] Exercice 1

[modifier] Question 1

Un vecteur normal à (P) est le vecteur $\vec n_P\begin{array}{|l}1\\2\\-1\end{array}$
Un vecteur normal à (P') est le vecteur $\vec n_{P'}\begin{array}{|l}-1\\1\\1\end{array}$
$\begin{align} \vec n_P\cdot \vec n_{P'}&=\begin{array}{|l}1\\2\\-1\end{array}\cdot\begin{array}{|l}-1\\1\\1\end{array}\\ &=1\times(-1)+2\times1+(-1)\times1\\ &=-1+2-1\\ &=0 \end{align}$

Donc les vecteurs $\vec n_P$ et $\vec n_{P'}$ sont orthogonaux.

Donc les plans (P) et (P') sont orthogonaux.

[modifier] Question 2

Les plans (P) et (P') sont orthogonaux, dont ils sont sécants et leur intersection est une droite.

Soit $t\in\R$

Le point M(t) de coordonnées $\begin{array}{|l}x_M\\y_M\\z_M\end{array}=\begin{array}{|l}-\frac13+t\\-\frac13\\t\end{array}$ appartient à la droite (d).

De plus,

$\begin{align}x_M+2y_M-z_M+1&=-\frac13+t+2\left(-\frac13\right)-t+1\\ &=-\frac13-\frac23+1\\ &=0 \end{align}$

Ceci signifie que les coordonnées de M(t) vérifient l'équation de (P), donc que $M(t)\in(P)$ .

Or, on a également $-x_M+y_M+z_M=+\frac13-t-\frac13+t=0$ , c'est-à-dire que les coordonnées de M(t) vérifient aussi l'équation de (P'), donc que $M(t)\in(P')$ .

On a donc montré que pour tout $t\in\R,~M(t)\in (P)\cap(P')$ .

Or, l'ensemble de tous les points M(t) forme la droite (d). On a donc $(d)\subset (P)\cap(P')$ .

Comme on sait que l'intersection de (P) et de (P') est une droite, on a bien le résultat :

L'intersection des plans (P) et (P') est la droite (d).

[modifier] Question 3

Le point $B\begin{array}{|l}0\\0\\1\end{array}$ appartient au plan (P).

La distance du point A au plan (P) vaut alors :

$\begin{align} d(A,(P))&=\left|\overrightarrow{AB}\cdot\frac{\vec n_P}{||\vec n_P||}\right|\\ &=\left|\begin{array}{|l}0-0\\0-1\\1-1\end{array}\cdot\begin{array}{|l}1\\2\\-1\end{array}\times\frac1{\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}}\right|\\ &=\left|\begin{array}{|l}0\\-1\\0\end{array}\cdot\begin{array}{|l}1\\2\\-1\end{array}\times\frac1{\sqrt6}\right|\\ &=\left|-\frac2{\sqrt6}\right|=\frac{2\sqrt6}6\\ \end{align}$

La distance du point A au plan (P) vaut $d(A,(P))=\frac{\sqrt6}3$

Le point $O\begin{array}{|l}0\\0\\0\end{array}$ appartient au plan (P).

La distance du point A au plan (P') vaut alors :

$\begin{align} d(A,(P'))&=\left|\overrightarrow{AO}\cdot\frac{\vec n_{P'}}{||\vec n_{P'}||}\right|\\ &=\left|\begin{array}{|l}0\\1\\1\end{array}\cdot\begin{array}{|l}-1\\1\\1\end{array}\times\frac1{\sqrt{(-1)^2+1^2+1^2}}\right|\\ &=\left|(1+1)\times\frac1{\sqrt3}\right|\\ &=\frac2{\sqrt3} \end{align}$

La distance du point A au plan (P) vaut $d(A,(P'))=\frac{2\sqrt3}3$

Comme (P) et (P') sont orthogonaux, on peut appliquer le théorème de Pythagore :

$\begin{align} d(A,(P))^2&=d(A,(P))^2+d(A,(P'))^2\\ &=\left(\frac{\sqrt6}3\right)^2+\left(\frac{2\sqrt3}3\right)^2\\ &=\frac69+\frac{4\cdot3}9\\ &=\frac23+\frac43\\ &=2 \end{align}$

La distance du point A à la droite (d) vaut $d(A,(d))=\sqrt2$

[modifier] Exercice 2

[modifier] Question 1

Soient u et v deux fonction dérivables à dérivée continue sur un intervalle [a;b].

La dérivée de $u\cdot v$ est $(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'$

Donc pour tout $t\in[a;b],~(u\cdot v)'(t)=u'(t)\cdot v(t)+u(t)\cdot v'(t)$

On intègre sur l'intervalle [a,b] :

$\int_a^b(u\cdot v)'(t)\,\mathrm dt=\int_a^bu'(t)\cdot v(t)\,\mathrm dt+\int_a^bu(t)\cdot v'(t)\,\mathrm dt$

On retrouve bien la formule d'intégration par parties :

$[u\cdot v]_a^b=\int_a^bu'(t)\cdot v(t)\,\mathrm dt+\int_a^bu(t)\cdot v'(t)\,\mathrm dt$

Points importants de la démonstration

Comme toute démonstration où l'énoncé n'introduit pas explicitement les éléments à manipuler, il faut commencer par présenter les éléments de travail par Soient u et v...
Avant d'intégrer une relation, il faut bien écrire qu'elle est valable sur tout l'intervalle sur lequel on va intégrer :

pour tout $t\in[a;b],~(u\cdot v)'(t)=u'(t)\cdot v(t)+u(t)\cdot v'(t)$

Bien sûr, ne pas oublier de conclure.

[modifier] Question 2

Partons de $I=\int_0^\pi e^x\sin(x)\,\mathrm dx$ .

On va procéder à une intégration par parties. On choisit de poser sur l'intervalle [a,b] les fonctions u et v telles que :

$u':x\mapsto e^x$ , d'où $u:x\mapsto e^x$

$v:x\mapsto \sin(x)$ , d'où $u':x\mapsto \cos(x)$

Les fonctions u et v sont bien dérivables à dérivée continue sur l'intervalle [a,b]. On peut donc appliquer la formule d'intégration par parties :

$\begin{align} I&=\int_0^\pi e^x\sin(x)\,\mathrm dx\\ &=\int_0^\pi u'(x)v(x)\,\mathrm dx\\ &=[u\cdot v]_0^\pi-\int_0^\pi u(x)v'(x)\,\mathrm dx\\ &=u(\pi)v(\pi)-u(0)v(0)-\int_0^\pi e^x\cos(x)\,\mathrm dx\\ &=-\int_0^\pi e^x\cos(x)\,\mathrm dx\\ &=-J \end{align}$

On a bien $I=\,-J$

Remarque

Pour cette manipulation très simple, tous les choix étaient possibles pour le choix de u et v, par exemple dériver l'exponentielle et intégrer le sinus.

Il était également tout à fait possible de partir de J pour arriver à -I.

Points importants de la démonstration

Dans cette démonstration, le point-clé est l'application de la formule d'intégration par parties. Il faut bien expliciter l'hypothèse-phare de ce théorème avant de dérouler les calculs, à savoir :

Les fonctions u et v doivent être dérivables à dérivée continue sur l'intervalle [a,b] d'intégration.

Comme toujours, il ne faut pas oublier de conclure et de mettre en évidence la conclusion.

[modifier] Exercice 5

On a affaire à la fonction

$\begin{array}{ccccc} f&:&]-1;+\infty[&\rightarrow&\R\\ ~&~&x&\mapsto&\displaystyle{x-\frac{\ln(1+x)}{1+x}} \end{array}$

[modifier] Partie A : Étude de certaines propriétés de la courbe C

[modifier] Question 1

Ce calcul nécessite un peu d'ordre dans le calcul ainsi qu'un minimum de suite dans les idées. Pour s'en sortir sans casse, il faut prendre soin de présenter le calcul proprement.

L'expression de ƒ est constituée d'une différence de deux termes :

x, qui est très simple à dériver
le quotient $\frac{\ln(1+x)}{1+x}$

Intéressons-nous à la dérivation du quotient. On pose les fonctions suivantes :

$\begin{array}{ccccc} u&:&]-1;+\infty[&\rightarrow&\R\\ ~&~&x&\mapsto&\ln(1+x) \end{array}$

$\begin{array}{ccccc} v&:&]-1;+\infty[&\rightarrow&\R\\ ~&~&x&\mapsto& 1+x \end{array}$

Le quotient est alors $\frac{\ln(1+x)}{1+x}=\frac{u(x)}{v(x)}$ . Cette expression est dérivable sur $]-1;+\infty[$ et, pour tout $x\in]-1;+\infty[$ , la dérivée vaut $\left(\frac uv\right)'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{v(x)^2}$

Cette expression fait appel à la dérivation d'une fonction de la forme $\ln(g)\,$ où g est une fonction. La dérivée d'une telle fonction est, d'après le cours sur la fonction logarithme néperien, $x\mapsto\frac{g'(x)}{g(x)}$

Dans notre cas, $g:x\mapsto 1+x$ , donc pour tout $x\in]-1;+\infty[,~u'(x)=\frac1{1+x}$

Il est grand temps de revenir au calcul de ƒ'. Sans oublier le 1 qui vient de la dérivée du premier terme de ƒ, on a pour tout $x\in]-1;+\infty[$ :

$\begin{align} f'(x)&=1-\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{v(x)^2}\\ &=1-\frac{\frac1{1+x}(1+x)-\ln(1+x)\times1}{(1+x)^2}\\ &=1-\frac{1-\ln(1+x)}{(1+x)^2}\\ &=\frac{(1+x)^2-1+\ln(1+x)}{(1+x)^2}\\ \end{align}$

Pour tout $x\in]-1;+\infty[,~\frac{(1+x)^2-1+\ln(1+x)}{(1+x)^2}$

À noter que le numérateur du résultat est repris dans la question suivante sous le nom de fonction N, ce qui est bon signe

[modifier] Question 2

$x\mapsto (1+x)^2$ est croissante sur $]-1;+\infty[$
$x\mapsto \ln(1+x)$ est croissante sur $]-1;+\infty[$
La somme de deux fonctions croissantes est croissante.

Donc N est croissante sur $]-1;+\infty[$

$N(0)=1^2-1+\ln(1)=0\,$

On en déduit le tableaux de signes et variations suivant pour la fonction N :

$\begin{array}{c||ccccc|} x&-1&&0&&+\infty\\ \hline &&&&\nearrow&\\ \textrm{Variations~de}~N&&&0&&\\ &&\nearrow&&&\\ \hline \textrm{Signe~de}~N(x)&&-&0&+&\\ \hline \end{array}$

Le signe de N, numérateur de ƒ', étant étudié, il est temps de s'intéresser au dénominateur. Celui-ci est toujours positif puisque c'est un carré.

Le tableau de signes de ƒ' est alors le même que le tableau de signes de N.

On en déduit le tableau de variations de ƒ :

$\begin{array}{c||ccccc|} x&-1&&0&&+\infty\\ \hline \textrm{Signe~de}~f'(x)&&-&0&+&\\ \hline \textrm{Variations~de}~f&&\searrow&&\nearrow&\\ &&&0&&\\ \hline \end{array}$

[modifier] Question 3

Soit $x\in]-1;+\infty[$

$\begin{align} f(x)=x &\Leftrightarrow x-\frac{\ln(1+x)}{1+x}=x\\ &\Leftrightarrow \frac{\ln(1+x)}{1+x}=0\\ &\Leftrightarrow \ln(1+x)=0\\ &\Leftrightarrow 1+x=1\\ &\Leftrightarrow x=0 \end{align}$

L'unique point d'intersection de $\mathcal C$ et $\mathcal D$ est l'origine du repère : $O(0,0)\,$

[modifier] Partie B : Étude d'une suite récurrente définie à partir de la fonction ƒ

[modifier] Question 1

La fonction ƒ est croissante sur l'intervalle [ 0 ; 4 ] donc, pour tout x tel que $0\leq x\leq 4$ , on a $f(0)\leq f(x)\leq f(4)$ , c'est-à-dire $0\leq f(x)\leq 4-\frac{\ln(5)}5<4$

Pour tout $x\in[0;4]$ , on a $f(x)\in[0;4]$

[modifier] Question 2

[modifier] a

[modifier] b

On pose pour tout $n\in\mathbb N$ l'hypothèse $\mathcal H_n~:~u_n\in[0;4]$

Initialisation : u₀=4 donc $u_0\in[0;4]$
Hérédité : Soit $n\in\mathbb N$ tel que $\mathcal H_n$ soit vraie

$u_n\in[0;4]$ donc, d'après la question B.1, $f(u_n)\in[0;4]$ , c'est-à-dire $u_{n+1}\in[0;4]$

Donc $\mathcal H_{n+1}$ est vraie

Le principe de récurrence permet de conclure que, pour tout $n\in\mathbb N,~u_n\in[0;4]$

[modifier] c

Soit $n\in\mathbb N$

$\begin{align} u_{n+1}-u_n&=f(u_n)-u(n)\\ &=u_n-\frac{\ln(1+u_n)}{1+u_n}-u_n \end{align}$

On sait de plus que, pour tout $n\in\mathbb N,~u_n\geq 0$ , donc $\ln(1+u_n)\geq 0$ et $1+u_n>0\,$

On en déduit que, pour tout $n\in\mathbb N,u_{n+1}-u_n\leq 0$

La suite (u_n) est donc décroissante.

[modifier] d

(u_n) est décroissante et minorée par 0.

Donc (u_n) converge vers une limite L.

[modifier] e

Comme u est une suite récurrente de la forme $u_{n+1}=f(u_n)\,$ , la limite L vérifie ƒ(L)=L. Or, le seul point d'intersection de $\mathcal C$ et $\mathcal D$ est le point de coordonnées (0;0) d'après la question A.3.

On en déduit $\lim_{n\to+\infty}u_n=0$

Entraînement à l'épreuve de mathématiques du baccalauréat (France)

Sommaire

Bac ES 2007 (Métropole)

Entraînement à l'épreuve de mathématiques du baccalauréat (France)/Bac S 2007 (Métropole)

Une page de Wikiversité.

Sommaire

[modifier] Sujet

[modifier] Explications

[modifier] Exercice 1

[modifier] Question 1

[modifier] Question 2

[modifier] Question 3

[modifier] Exercice 2

[modifier] Question 1

[modifier] Question 2

[modifier] Exercice 5

[modifier] Partie A : Étude de certaines propriétés de la courbe C

[modifier] Question 1

[modifier] Question 2

[modifier] Question 3

[modifier] Partie B : Étude d'une suite récurrente définie à partir de la fonction ƒ

[modifier] Question 1

[modifier] Question 2

[modifier] a

[modifier] b

[modifier] c

[modifier] d

[modifier] e

Affichages

Outils personnels

Rechercher

Navigation

Contribuer

Imprimer / exporter

Boîte à outils