Dualité/Propriétés

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Commençons par une remarque triviale :

Remarque

Soient $\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ une famille de vecteurs de E et $\left(\varphi _{i}\right)_{i\in I}$ une famille de formes linéaires sur E, telles que

$\forall i,j\in I\quad \varphi _{i}\left(x_{j}\right)=\delta _{i,j}$,

où $\delta _{i,j}$ désigne le symbole de Kronecker.

Alors, les deux familles $\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ et $\left(\varphi _{i}\right)_{i\in I}$ sont libres.

Début d'un lemme

Lemme

Pour toute famille libre $\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ de vecteurs de E et toute famille $\left(\lambda _{i}\right)_{i\in I}$ de scalaires, il existe au moins une forme linéaire $\varphi$ sur E telle que

$\forall i\in I\quad \varphi \left(x_{i}\right)=\lambda _{i}$.

Si de plus $\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ engendre E, cette forme $\varphi$ est unique.

Fin du lemme

Démonstration

Soit V un supplémentaire du sous-espace de E engendré par les $x_{i}$. Il existe une unique forme linéaire $\varphi$ sur E nulle sur V et telle que $\forall i\in I\quad \varphi _{i}\left(x_{i}\right)=\lambda _{i}$.

 

Début d’un théorème

Théorème et définition : base duale

Pour toute base $\left(e_{i}\right)_{i\in I}$ de E, il existe une unique famille $\left(e_{i}^{*}\right)_{i\in I}$ de formes linéaires sur E telle que

$\forall i,j\in I\quad e_{i}^{*}\left(e_{j}\right)=\delta _{i,j}$.

Si E est de dimension finie, cette famille est une base de $E^{*}$, appelée la base duale de $\left(e_{i}^{*}\right)_{i\in I}$.

Fin du théorème

Démonstration

• L'existence et l'unicité de $\left(e_{i}^{*}\right)_{i\in I}$ résultent du lemme.
• Sa liberté est immédiate, d'après la remarque préliminaire.
• Si E est de dimension finie, $\left(e_{i}^{*}\right)_{i\in I}$ engendre $E^{*}$ car toute forme linéaire $f\in E^{*}$ est alors égale à $\sum f(e_{i})e_{i}^{*}$.

 

Concrètement, les formes linéaires $e_{i}^{*}$ sont les applications coordonnées relativement à la base $\left(e_{i}\right)_{i\in I}$ : $e_{i}^{*}$ associe à un vecteur $x$ de $E$ sa $i$-ème coordonnée dans la base $\left(e_{i}\right)_{i\in I}$.

Corollaire

Pour tout espace vectoriel E de dimension finie, l'espace vectoriel E* a même dimension que E.