Discussion:Champ électrostatique, potentiel/Calculs classiques

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calcul direct du champ électrique[modifier | modifier le wikitexte]

concernant le calcul direct du champ électrique produit par une boule de charge Q, pouvez-vous le faire en utilisant la formulation du théorème de Gauss avec la divergence ?Le message qui précède, non signé?, a été déposé par 90.56.17.247 (d · c · b · s).

Le théorème de Gauss utilise de façon cachée la divergence. Il découle
  • du théorème d'Ostrogradsky, qui dit que \iiint_V \mathrm{div}(\vec E)\mathrm d^3\tau=\int \!\!\!\!\! \int _\Sigma \!\!\!\!\!\!\!\! \bigcirc \vec E.\overrightarrow{\mathrm d^2S}
  • d'une des 4 équations de Maxwell (équations fondamentales de l'électromagnétisme) qui dit que \mathrm{div}(\vec E)=\frac{\rho}{\epsilon_0}
Le terme \iiint_V \mathrm{div}(\vec E)\mathrm d^3\tau=\frac1{\epsilon_0}\iiint_V \rho\,\mathrm d^3\tau permet alors de retomber sur le \frac{Q}{\epsilon_0} présenté dans le cours (\rho\,\mathrm d^3\tau est bien homogène à une charge). L'expression explicite de la divergence a peu d'intérêt puisqu'on travaille au « niveau global ». Xzapro4 discuter 28 septembre 2008 à 17:47 (UTC)
Sinon, si vous y tenez tout particulièrement, vous pouvez utiliser la divergence en coordonnées sphériques qui dans notre cas de symétrie se réduit à \mathrm{div}(\vec E)=\frac1{r^2}\frac{\mathrm d(r^2 E_r)}{\mathrm dr}=\frac{\rho}{\epsilon_0}
Après quelques manipulations algébriques, on aboutit à \int_0^{R_\Sigma} \frac{\rho r^2}{\epsilon_0}\mathrm dr=\int_{r=0}^{r={R_\Sigma}}\mathrm d(r^2 E_r), où R_\Sigma est le rayon de la surface de Gauss choisie, supposée inférieure au rayon de la boule.
Une intégration plus tard, on obtient \frac{\rho R_\Sigma^3}{3\epsilon_0}=R_\Sigma^2 E_{R_\Sigma}, ce qui redonne bien \frac{\rho R_\Sigma}{3\epsilon_0}= E_{R_\Sigma}
Le raisonnement est analogue pour R_\Sigma>R Xzapro4 discuter 28 septembre 2008 à 18:06 (UTC)

disque infini chargé[modifier | modifier le wikitexte]

je comprends la formule et la démonstration pour le disque uniformément chargé, mais cela est-ce différent pour le disque infini chargé? si oui merci de me préciser la différence, je ne la vois pas, je ne vois pas comment appliquer la formule au disque infini. Le message qui précède, non signé?, a été déposé par 77.196.10.100 (d · c · b · s).

Pour un disque infini, il suffit de faire tendre R vers + ∞ dans le formule \vec E(M)= \sgn(z)~\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \left ( 1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}} \right ) \vec u_z, ce qui donne immédiatement \vec E(M)= \sgn(z)~\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}\vec u_z
Ceci dit, c'est une étrange manière d'aborder ce calcul, étant donné qu'un « disque infini » n'est rien d'autre qu'un plan. Dans ce cas, un calcul plus général et bien plus simple est détaillé sur la page d'exercices. Xzapro4 discuter 2 novembre 2009 à 09:10 (UTC)

Calcul +-basique[modifier | modifier le wikitexte]

Pourquoi on fait sortir E(r) de l’intégral alors qu'il y a le "dr" à l'intérieur de cette intégral ?