Cours de mathématiques de terminale S/Langage de la continuité et tableaux de variations/Sujet de bac S

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Sujet de bac S
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Annexe 3
Leçon : Cours de mathématiques de terminale S
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[modifier] Pondichéry avril 2004

Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire.

Soit \phi\, la fonction définie sur \R par \phi(x)=(x^2+x+1)e^{-x}-1\,

1.a) Déterminer les limites de \phi\, en -\infty et +\infty.

b) Étudier le sens de variation de \phi\,, puis dresser son tableau de variations, sur \R.

2. Démontrer que l'équation \phi(x)=0\, admet deux solutions dans \R, dont l'une dans l'intervalle [1;+\infty[, qui sera notée \alpha\,.

3. En déduire le signe de \phi(x)\, sur \R et le présenter dans un tableau.

[modifier] La Réunion juin 2004

Soit f\, la fonction définie sur [0;+\infty[ par :

f(x) = 1-x^2\ e^{1-x^2}\,

1. Démontrer que f\, est continue sur [0;+\infty[.

2. On admet que le tableau de variations de f\, est le suivant :

x
0\, 1\, +\infty\,
f(x)
1\, 1\,
\searrow \nearrow
0\,

k\, est un nombre réel donné. Déterminer en fonction de k\, le nombre de solutions

dans l'intervalle [0;+\infty[\, de l'équation f(x)=k\,.

3. n\, étant un entier naturel non nul, en déduire les valeurs de n

pour lesquelles l'équation f(x) =\frac{1}{n} admet deux solutions distinctes.

[modifier] Version guidée

Soit f\, la fonction définie sur [0;+\infty[ par :

f(x) = 1-x^2\ e^{1-x^2}\,

1. Démontrer que f\, est continue sur [0;+\infty[.

a) Préciser les fonctions g, h, ket i telles que f= g-h\times k\circ i

b) Justifier de la continuité de g, h, ket i , sur un intervalle bien choisi pour chacune.

c) Conclure quant à la continuité de f sur [0;+\infty[.


2. On admet que le tableau de variations de f\, est le suivant :

x
0\, 1\, +\infty\,
f(x)
1\, 1\,
\searrow \nearrow
0\,


a) Démontrer en utilisant les variations de f que

pour tout x de ]0;1[\,, 0<f(x)<1\,

b) Démontrer en utilisant les variations de f que

pour tout x de ]1;+\infty[\,, f(x)>0\,

c) Démontrer que si k\, est un nombre réel de l'intervalle ]0,1[

l'équation f(x)=k\, admet exactement 1 solution sur [0;1]\,

d) En admettant de plus que pour tout x de ]1;+\infty[\,, f(x)<1\,,

démontrer que si k\, est un nombre réel de l'intervalle ]0,1[

l'équation f(x)=k\, admet exactement 1 solution sur [1;+\infty]\,

e) Soit k un nombre réel quelconque, discuter en fonction de k et

en utilisant a), b), c), d) le nombre de solutions

dans l'intervalle [0;+\infty[\, de l'équation f(x)=k\,.

f) Démontrer le résultat admis en d).

3. n\, étant un entier naturel non nul, en déduire les valeurs de n

pour lesquelles l'équation f(x) =\frac{1}{n} admet deux solutions distinctes.

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