Cours de mathématiques de terminale S/La fonction exponentielle/Restitution organisée de connaissances

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Restitution organisée de connaissances : exponentielle.
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Annexe 2
Leçon : Fonction exponentielle
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Sommaire

[modifier] Exercice 1

L'exercice proposé ici constitue une ROC ou "Question de cours" ou "démonstration de cours", spécifiquement au programme du bac S.

Les prérequis sont des propositions admises ici, qui doivent servir à démontrer le résultat demandé.

[modifier] Prérequis

  1. exp est un fonction dérivable sur \R.
  2. sa fonction dérivée, est exp'(x) = exp(x) pour tout x de \R.
  3. exp(0) = 1


[modifier] Résultat à démontrer

En utilisant que ces trois propriétés de la fonction exp, démontrer successivement que :

a) Pour tout réel x, exp(x)\times exp(-x)=1.

b) Pour tout réel a et pour tout réel x, exp(a+x)=exp(a)\times exp(x).

[modifier] Application

c) Pour tout réel x, exp(x) > 0

d) Pour tout réel x, exp(x)+exp(-x)\geq 2.

[modifier] Exercice 2

Définition

Il existe une unique fonction dérivable de \R dans \R, appelée fonction exponentielle et notée exp qui vérifie :

  • \exp(0)=1\,
  • Pour tout x\in\R,~\exp'(x)=\exp(x)

Autrement dit, l'exponentielle est la seule fonction qui est égale à sa propre dérivée valant 1 en 0.


Existence : On admet ici l'existence (qui peut être démontrée en calcul intégral).

Unicité :

  • Remarquons tout d'abord que f ne s'annule pas sur \R.

En effet la fonction définie par \phi (x)=f(x)\times f(-x) a pour dérivée :

\phi'(x)=..................................................................\,.

donc \phi\, est ................ et comme \phi (0)=1\,,

on en déduit \phi(x)=.........\, pour tout x.

Finalement f(x)\times f(-x)=..............\, pour tout x

donc f(x)\, ne .......................... pas.


  • Soit g une autre fonction dérivable sur \R telle que :
g'=g\, et g(0)=1\,,

alors h=\frac{g}{f} est défine et dérivable sur \R (car f ne s'annule pas).

Alors h'=........................................................................\,

donc h est ............................ sur \R.

Or h(0)=\frac{g(0)}{f(0)}=...........................................\,

donc g=........................................\,.

[modifier] Exercice 3

En utilisant uniquement les propriétés algébriques de la fonction exponentielle

et le fait qu’elle ne s’annule pas sur \R, démontrer que pour tout x de \R:

e^{x}>0\,.
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