Cours de mathématiques de terminale S/Fonction exponentielles et croissances comparées/Restitution organisée de connaissances

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**Croissances comparées**
Leçon : Fonction exponentielle

Annexe 1

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Croissances comparées en $+\infty$

$\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}x=+\infty$

[modifier] Démonstration

On définit sur $[0;+\infty[$ la fonction $\phi : x\mapsto e^x-\frac{1}{2}x^2$ .

1° Déterminer $\phi'(x)\,$ et $\phi''(x)\,$ .

2° Déterminer le sens de variation sur $[0;+\infty[$ de $\phi'\,$ .

3° En déduire le signe de $\phi'\,$ sur $[0;+\infty[$ .

4° En déduire de sens de variation de $\phi\,$ sur $[0;+\infty[$ .

5° En déduire le signe de $\phi\,$ sur $[0;+\infty[$ .

6° Démontrer que sur $[0;+\infty[$ :

$\frac{e^x}{x}\geq \frac{1}{2}x\,$ .

7° En déduire $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}x\,$

Théorème

$\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}x=0$

[modifier] Démonstration

En posant $X=ln(x)\,$ , démontrer ce théorème à partir du précédent.

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Catégorie : Cours de mathématiques de terminale S

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