Cours de mathématiques de terminale S/Fonction exponentielles et croissances comparées/Épreuve pratique

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On nomme C la courbe représentative de la fonction exponentielle dans un repère orthonormé.

et D la droite d'équation dans ce même repère.

L'objectif de cette activité est de déterminer la plus petite distance entre C et D.

[modifier] Conjectures

1.a) Tracer C et D avec un logiciel adapté.

b) Emettre une conjecture concernant leurs positions relatives.

c) Soit a un nombre réel, et soit M le point de C d'abscisse a.

Soit d(a) la distance de M à la droite D.

Placer M et faire varier le point M sur C.

Afficher les valeurs de d(a) correspondantes.

d) Emettre une conjecture concernant les valeurs de a minimisant d(a).

e) Tracer point par point la courbe représentative de d(a).

[modifier] Démonstrations

2.a) Démontrer la conjecture 1.a)

b) Déterminer en fonction de a la distance d(a) de M à la droite D.

c)Donner une condition nécessaire pour que d(a) soit minimale.

d) Déterminer les valeurs de a vérifiant cette condition.

e) Démontrer la conjecture 1.d).

f) En quoi cette étude résout-elle le problème de départ ?