Cours de mathématiques de seconde/Vecteurs et repérage/Condition de colinéarité

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Condition de colinéarité
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Chapitre 3
Leçon : Vecteurs et repérage
Chap. préc. : Base et repère du plan
Chap. suiv. : Distance dans un repère orthonormé


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[modifier] Colinéarité et coordonnées dans le plan

Deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires lorsqu'il existe un réel k tel que \overrightarrow{u} = k\overrightarrow{v}.

Écrivons cela en terme de coordonnées :

  • \overrightarrow{u}(x; y);
  • \overrightarrow{v}(x'; y').

On a alors x = kx' et y = ky'.

C'est-à-dire que les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont proportionnelles.

Autrement dit, le tableau \begin{array}{|c|c|} \hline x & y \\ \hline x' & y' \\ \hline \end{array} est un tableau de proportionalité.

On a alors par produit en croix x\cdot y' = x'\cdot y, d'où la propriété :


Propriété

Dans le plan muni d'un repère \left(O,\vec{i},\vec{j}\right), deux vecteurs \vec{u}(x;y)\, et \vec{v}(x';y')\, sont colinéaires

si et seulement si :

x\cdot y'-x'\cdot y=0\,
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