Cours de mathématiques de première STI/Fonctions polynômes du second degré (ou trinômes)
|
|
|||
| Chapitre no1 | |||
| Leçon : Cours de mathématiques de première STI |
|---|
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Cours de mathématiques de première STI : Fonctions polynômes du second degré (ou trinômes)
Cours de mathématiques de première STI/Fonctions polynômes du second degré (ou trinômes) », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Sommaire |
[modifier] Les trinômes
Définition
Une fonction polynôme du second degré, ou trinôme, est donnée par une formule du type :

où a, b et c sont des coefficients et où a est non nul.
[modifier] Être ou ne pas être une fonction trinôme
Parmi les fonctions suivantes, lesquelles peuvent être classées dans l'ensemble des fonctions polynômes du second degré ? Préciser leurs coefficients.
l'est avec : a=2, b=3 et c=1
l'est avec : a=1, b=-2 et c=2
ne l'est pas (pas de coefficient en
)
ne l'est pas (présence d'un coefficient en
)
l'est avec : a=1, b=0 et c=3
l'est avec : a=3, b=-1 et c=0
[modifier] Représentation graphique d'une fonction trinôme
[modifier] Représenter graphiquement des fonctions trinômes
Tracer dans un même repère orthonormé les paraboles représentatives des fonctions suivantes.
[modifier] TP : Un trinôme issu d'une situation géométrique
[modifier] Racines d'un trinôme
Définition
Les racines d'une fonction trinôme f sont les solutions de l'équation f(x) = 0.
Graphiquement, ce sont les abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe horizontal des abscisses
Théorème
Le nombre de racines d'un trinôme dépend de son discriminant : 
- Si
alors le trinôme a deux racines réelles :


- Si
alors le trinôme a une racine réelle :

- Si
alors le trinôme n'a pas de racine
Si ![]() |
Si ![]() |
Si ![]() |
|
|---|---|---|---|
| Si a > 0 | Deux racines |
Une racine |
Pas de racines |
| Si a < 0 | Deux racines |
Une racine |
Pas de racines |
[modifier] Trouver les racines d'un trinôme
Calculer d'abord le discriminant puis les racines des trinômes suivants. Vérifier la cohérence des résultats avec les courbes tracées plus haut.




il y a donc 2 racines réelles 








Il y a donc pas racines réelles.




il y a donc 2 racines réelles 








il y a donc 2 racines réelles 




[modifier] Variations d'une fonction trinôme
|
|
Remarques :
- L'abscisse de l'extremum
correspond à la moyenne des deux racines quand elle existent, la parabole est symétrique. - La valeur de l'extremum
n'a pas à être apprise par cœur : elle se retrouve facilement dans les exemples.
[modifier] Construire le tableau de variations d'une fonction trinôme
Donner les tableaux de variations des fonctions suivantes. Vérifier la cohérence avec les courbes obtenues précédemment.

Vos solutions sont bienvenues !

Vos solutions sont bienvenues !

Vos solutions sont bienvenues !

Vos solutions sont bienvenues !
[modifier] Signe d'un trinôme
En combinant la connaissance des racines et celle du tableau de variations, on obtient le tableau de signe d'un trinôme. Il y a six possibilités.
Théorème :
|
|
|
|
|
|
[modifier] Construire le tableau de signe d'une fonction trinôme
Donner les tableaux de signe des fonctions suivantes. Vérifier la cohérence avec les courbes obtenues précédemment.

Vos solutions sont bienvenues !

Vos solutions sont bienvenues !

Vos solutions sont bienvenues !

Vos solutions sont bienvenues !
[modifier] TP : Situation économique conduisant à une inéquation du second degré
[modifier] Somme et produit des racines
Quand un trinôme possède deux racines
, on vérifie facilement les deux formules suivantes, qui peuvent être utiles pour calculer une racine quand on connait déjà l'autre, ou bien quand on connait le produit et la somme des racines, mais pas les racines elles-mêmes.
Théorème


[modifier] Factorisation d'un trinôme
Théorème
Quand un trinôme possède deux racines
, on peut le factoriser de la manière suivante :

[modifier] Factoriser un trinôme
Factoriser, lorsque c'est possible, les trinômes suivants.



Δ<0 Il n'y a donc pas de racines réelles, donc pas de factorisation réelle possible.



x(-3x-1)
[modifier] Liens
- Équation du second degré sur Wikipédia, on y trouve les démonstrations des théorèmes de ce cours. Un peu difficile néanmoins.
- Fonction du second degré sur Wikipédia, plus élémentaire que le précédent. Une illustration graphique intéressante






)
)
l'est avec : a=1, b=0 et c=3
l'est avec : a=3, b=-1 et c=0

alors le trinôme a deux racines réelles :
alors le trinôme a une racine réelle :
alors le trinôme n'a pas de racine













