Champ magnétique, magnétostatique/Exercices/Calculs de champs

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**Calculs de champs**
Leçon : Champ magnétique, magnétostatique

Exercice 3
Chapitre du cours :	Calculs classiques
Cet exercice est de niveau 13.

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Calculs de champs
Champ magnétique, magnétostatique/Exercices/Calculs de champs », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 Solénoïdes
- 1.1 Solénoïde fini
- 1.2 Solénoïde infini
2 Spire chargée en rotation
3 Sphère chargée en rotation

[modifier] Solénoïdes

[modifier] Solénoïde fini

On considère un solénoïde d'axe (Oz), de rayon R, de longueur L, constitué de n spires par unité de longueur, chacune étant parcourue par une intensité I. Calculer le champ magnétique produit par le solénoïde en tout point de (Oz).

On pourra poser $\theta_1~$ et $\theta_2~$ les angles sous lesquels on voit depuis M respectivement l'avant et l'arrière du solénoïde par rapport à (Oz).

Solution

Soit M un point de l'axe (Oz)

Tout plan contenant (Oz) est plan d'antisymétrie de la distribution, donc $\vec B(M)$ est suivant $\vec u_z$
On considère tout d'abord le champ engendré par une « tranche de solénoïde » de longueur dl, vue depuis M sous un angle $\theta~$ par rapport à (Oz). On assimile cette tranche à une bobine constituée de $\mathrm dn_s=n~\mathrm dl$ spires circulaires. Cette tranche crée en M un champ magnétique $\mathrm d\vec B(M)=\frac{\mu_0 nI}{2R} \sin^3(\theta)~\mathrm dl ~\vec u_z$ .
On va chercher à intégrer suivant $\theta~$ : il faut donc s'affranchir de $~\mathrm dl$ : $z_P=\frac{R}{\tan(\theta)}$ donc $\mathrm dl=-\frac{R}{\sin^2(\theta)} \mathrm d\theta$
On obtient donc $\mathrm d\vec B(M)=-\frac{\mu_0 nI}{2} \sin(\theta) \mathrm d\theta ~\vec u_z$ .
On intègre pour $\theta~$ compris entre $\theta_2~$ et $\theta_1~$ :

$\vec B(M)=\frac{\mu_0 I n}2 (\cos(\theta_2)-\cos(\theta_1)) \vec u_z$

[modifier] Solénoïde infini

Le champ magnétique engendré en tout point de l'espace par un solénoïde infini est souvent considéré comme un résultat de cours. Il est fortement conseillé de le connaître par cœur.

On considère un solénoïde infini d'axe (Oz), de rayon R, constitué de n spires par unité de longueur, chacune étant parcourue par une intensité I.

1. Calculer le champ magnétique produit par le solénoïde en tout point de (Oz).

2. Calculer le champ magnétique produit par le solénoïde en tout point de l'espace.

Solution

Question 1 : M est sur l'axe. On reprend l'exercice précédent en faisant tendre $\theta_2~$ vers 0 et $\theta_1~$ vers $π$ . On obtient

$\vec B(M)=\mu_0 I n \vec u_z$

Question 2 :

Les invariances sont :

Tout plan contenant (Oz) est plan d'antisymétrie de la distribution
La distribution est invariante par translation suivant z
La distribution est invariante par rotation autour de (Oz)

Donc $\vec B=B(r) \vec u_z$

Première étape : À l'intérieur du solénoïde

On choisit pour contour d'Ampère un rectangle orienté ABCD inclus dans le solénoïde et tel que:
- $[AB] \subset (Oz)$
- $\overrightarrow{AB}$ est orienté comme $\vec u_z$
- $BC=~r$
On applique le théorème d'Ampère :

$\begin{align} 0&=\oint_{ABCD} \vec B.\mathrm d\vec l\\ &= \int_A^B \vec B.\mathrm d\vec l+\int_B^C \vec B.\mathrm d\vec l+\int_C^D \vec B.\mathrm d\vec l+\int_D^A \vec B.\mathrm d\vec l\\ &= \mu_0In.AB+0+B(r)~\vec u_z.(-CD~\vec u_z)\end{align}$ .

On simplifie (AB=CD) pour obtenir

$\vec B(M)= \mu_0 I n \vec u_z$ si M est dans le solénoïde

Seconde étape : À l'extérieur du solénoïde

On choisit pour contour d'Ampère un rectangle orienté A₁B₁C₁D₁ tel que:
- $[A_1B_1]~$ est inclus dans le solénoïde
- $[C_1D_1]~$ est à l'extérieur du solénoïde
- $\overrightarrow{A_1B_1}$ est orienté comme $\vec u_z$
- $[C_1D_1]~$ et (Oz) sont distants de r₁

On applique le théorème d'Ampère :

$\begin{align} \mu_0 nI.A_1B_1&=\oint_{A_1B_1C_1D_1} \vec B.\mathrm d\vec l\\ &= \int_{A_1}^{B_1} \vec B.\mathrm d\vec l+\int_{B_1}^{C_1} \vec B.\mathrm d\vec l+\int_{C_1}^{D_1} \vec B.\mathrm d\vec l+\int_{D_1}^{A_1} \vec B.\mathrm d\vec l\\ &= \mu_0 In.A_1B_1+0+B(r_1)~\vec u_z.(-C_1D_1~\vec u_z)\end{align}$ .

On simplifie : $B(r_1)=~0$ , ce qui conduit à

$\vec B(M)= \vec 0$ si M est à l'extérieur du solénoïde

[modifier] Spire chargée en rotation

Une spire circulaire, de rayon R, d'axe (Oz), tourne à vitesse angulaire constante $\omega~$ autour de son axe. Sachant que la spire porte une densité linéique de charge uniforme $λ$ , déterminer le champ magnétique en tout point de (Oz).

Solution

La clé de l'exercice est de relier $\omega~$ à I. On utilise pour cela la définition de I : $I=\frac{\mathrm dq}{\mathrm dt}$ .

La charge portée par une portion élémentaire de spire est $\mathrm dq= \lambda R~\mathrm d\theta$ .
Donc $I=\lambda R \dot \theta=\lambda R \omega$
Une fois cette expression obtenue, on peut conduire exactement le même raisonnement que pour une spire circulaire de courant « normale » et remplacer I par son expression dans le résultat final :

$\vec B(z)=\frac{\mu_0 \lambda \omega}{2} \frac{R^3}{(R^2+z^2)^{\frac32}} \vec z$

[modifier] Sphère chargée en rotation

Soit une sphère de centre O, de rayon R, en rotation autour d'un axe (Oz) à la vitesse angulaire constante $\omega~$ . Sachant que la sphère porte une densité surfacique de charge $\sigma~$ , calculer le champ magnétique créé en O par cette distribution.

Solution

Cet exercice ne diffère que peu du précédent. Pour le réussir, il faut voir la sphère comme un « empilement de spires élémentaires » constituées par les couronnes élémentaires.

Soit une couronne élémentaire située à la latitude $~\theta$ . La surface de cette couronne vaut $\mathrm dS = 2 \pi R^2 \sin(\theta)~\mathrm d\theta$ .
La couronne porte donc une charge $\mathrm dq = 2 \pi R^2 \sigma \sin(\theta)~ \mathrm d\theta$
La charge portée par une portion élémentaire de couronne est $\mathrm d^2q = R^2 \sigma \sin(\theta)~ \mathrm d\theta ~ \mathrm d\varphi$
La couronne en rotation se comporte comme une spire circulaire parcourue par un courant $\mathrm dI=\frac{\mathrm d^2q}{\mathrm dt} = R^2 \sigma \sin(\theta) \dot \varphi~ \mathrm d\theta = \omega R^2 \sigma \sin(\theta)~ \mathrm d\theta$
Cette spire génère un champ magnétique en O valant, en réutilisant un calcul déjà fait, $\mathrm d\vec B(O) = \frac{\mu_0}{2R \sin(\theta)} \sin^3(\theta) \omega R^2 \sigma \sin(\theta)~ \mathrm d\theta~\vec u_z= \frac{\mu_0 \omega \sigma R}2 \sin^3(\theta)~ \mathrm d\theta~\vec u_z$
On linéarise l'expression grâce à $\sin^3(\theta)=\frac{3 \sin(\theta)-\sin(3\theta)}4$ , ce qui donne $\mathrm d\vec B(O) = \frac{\mu_0 \omega \sigma R}8 (3 \sin(\theta)-\sin(3\theta))~ \mathrm d\theta~\vec u_z$
Il ne reste qu'à intégrer pour $\theta~$ entre 0 et $π$ : $\vec B(O) = \int_0^\pi \frac{\mu_0 \omega \sigma R}8 (3 \sin(\theta)-\sin(3\theta))~ \mathrm d\theta~\vec u_z$
On trouve finalement