Champ magnétique, magnétostatique/Calculs classiques

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Calculs classiques

Chapitre no5
Leçon : Champ magnétique, magnétostatique
Chap. préc. :	Dipôle magnétique
Chap. suiv. :	Potentiel vecteur

   

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Méthodes de calcul du champ magnétique

Calcul direct

Début d'un principe

Méthode de calcul direct du champ magnétique

Lorqu'on dispose d'une distribution de courants qu'il est facile de paramétrer (par exemple une spire circulaire), on peut faire le calcul du champ magnétique en calculant l'intégrale explicitement :

• Choix du repère (cartésien, cylindrique, sphérique)
• Simplification de l'expression de $\vec B$ par utilisation des symétries et invariances
• Expression du champ élémentaire créé par une portion infinitésimale de la distribution avec la loi de Biot et Savart. Cette portion élémentaire doit être choisie judicieusement pour simplifier les calculs (voir exemples).
• Intégration finale

Fin du principe

Théorème d'Ampère

Début d'un principe

Application d'Ampère au calcul du champ magnétique

Lorsqu'on dispose de distributions très symétriques ou infinies, il est souvent plus simple d'utiliser le théorème d'Ampère pour calculer le champ magnétique engendré par la distribution :

• Simplification de l'expression de $\vec B$ par utilisation des symétries et invariances
• Choix du contour d'Ampère fermé (en fonction de $\vec B$ et de la distribution), puis orientation du contour.
• Application de la formule

Fin du principe

Calculs de champs magnétiques classiques

Voir les exercices sur : Calculs de champs.

Les quelques calculs présentés ici sont les calculs de base de la magnétostatique. Il est très important de savoir les refaire sans aucun doute. Ce n'est toutefois que la base et d'autres calculs classiques dont le principe est également à connaître sont laissés en exercice.

Segment de courant

Début d'un théorème

Segment de courant

On dispose d'un segment parallèle à l'axe z parcouru par un courant i. D'un point M de l'espace distant du segment d'une distance d, on voit les extrémités basse et haute du segment sous leurs angles respectifs $\alpha_1$ et $\alpha_2$ par rapport à l'horizontale. Le champ magnétostatique $\vec B$ engendré en M vaut $\vec B(M)= \frac{\mu_0 I}{4 \pi d} (\sin (\alpha_2)-\sin (\alpha_1)) \vec u_\theta$

Fin du théorème

Début d'une démonstration

Démonstration

• Tout plan contenant le segment est plan de symétrie de la distribution donc $\vec B$ est suivant $\vec u_\theta$.
• Le champ créé en M par une longueur infinitésimale $\mathrm dl$ au point P du segment vaut :

$\begin{align} d\vec B &= \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{i~\mathrm d\vec l \wedge \vec u_r}{r^2}\\ &=\frac{\mu_0 i}{4 \pi r^2} (\mathrm dz ~\vec u_z) \wedge (\cos (\alpha) \vec u_y + \sin (\alpha) \vec u_z)\\ &= \frac{\mu_0 i}{4 \pi r^2}~\mathrm dz \cos(\alpha) \vec u_\theta \end{align}$

• Ensuite, on choisit la variable suivant laquelle on va intégrer. Ici, une intégration suivant $\alpha~$ s'avérera aisée. Comme on veut intégrer suivant $~\alpha$, on va chercher à tout exprimer en fonction de $~\alpha$ et d:
  • $z=d~\tan(\alpha)$ donc $\mathrm dz = d.\frac{\mathrm d\alpha}{\cos^2(\alpha)}$
  • $r=\frac d{\cos(\alpha)}$

• Après remplacement, on obtient $\mathrm d\vec B =\frac{\mu_0 i}{4 \pi d} \cos(\alpha)~\mathrm d \alpha~ \vec u_\theta$
• Enfin, on intègre pour $\alpha~$ entre $\alpha_1~$ et $~\alpha_2$ : $\vec B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi d} (\sin (\alpha_2)-\sin (\alpha_1)) \vec u_\theta$

Fin de la démonstration

Fil infini

Début d'un théorème

Fil infini

On suppose que l'axe (Oz) est un fil conducteur parcouru par un courant I orienté vers les z croissants. En un point M de l'espace séparé de (Oz) d'une distance r, le champ magnétostatique $\vec B$ vaut $\vec B(M)= \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} \vec u_\theta$

Fin du théorème

Début d'une démonstration

Démonstration

Dans ce cas très simple à très haute symétrie, on peut utiliser le théorème d'Ampère :

• Tout plan contenant (Oz) est plan de symétrie de la distribution donc $\vec B = B(r,\theta,z) \vec u_\theta$
• La distribution est invariante par toute rotation autour de (Oz) donc $\vec B = B(r,z) \vec u_\theta$
• La distribution est invariante par toute translation suivant z donc $\vec B = B(r) \vec u_\theta$
• On choisit pour contour d'Ampère un cercle $\Gamma$, de rayon r contenu dans un plan perpendiculaire à (Oz) et centré sur (Oz), orienté en concordance avec I
• On applique le théorème d'Ampère : $\oint_\Gamma \vec B.\mathrm d\vec l = \mu_0 I$.
• Or $\mathrm d\vec l = r~\mathrm d\theta~\vec u_\theta$
• Donc $\mu_0 I = \int_0^{2\pi} B(r)~r~\mathrm d\theta = 2\pi r B(r)$

Fin de la démonstration

Remarque

On peut également obtenir le champ magnétique à la distance d d'un fil infini en faisant tendre $~\alpha_1$ vers $\frac{\pi}2$ et $~\alpha_2$ vers $-\frac{\pi}2$ dans l'expression du segment de courant.

Champ d'une spire circulaire

Début d'un théorème

Spire circulaire de courant

On dispose d'une spire circulaire, de rayon R et d'axe de révolution (Oz). Soit M un point de (Oz). De M, on voit la spire sous un certain angle $\alpha$ par rapport à l'axe. Le champ magnétique $\vec{B}$ en M vaut $\vec B(M)= \frac{\mu_0 I}{2R} \sin^3(\alpha) \vec u_z$

Fin du théorème

Ce résultat est parfois considéré comme un résultat de cours. Il est vivement conseillé de l'apprendre, et a fortiori de savoir le redémontrer.

Début d'une démonstration

Démonstration

On calcule le champ par la méthode directe en un point M de l'axe (Oz) :

• Tout plan contenant (Oz) est plan d'antisymétrie de la distribution donc $\vec B(M)$ est suivant $\vec u_z$
• La distribution est invariante par rotation autour de (Oz) donc, en coordonnées cylindriques, $\vec B = \vec B(r,z)$. En particulier, sur l'axe, $\vec B(M) = B(z) \vec u_z$
• Le champ créé en M par une longueur infinitésimale de longueur dl située en P vaut $\mathrm d \vec B_{reel} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d^2}~(\mathrm d \vec l \wedge \vec u)$. En réalité, la seule composante utile de ce champ élémentaire est la composante suivant $\vec z$, comme le champ final $\vec B(M)$ est suivant $\vec z$. Comme $\Vert\mathrm d \vec l \wedge \vec u\Vert= \mathrm dl$ , on considère $\mathrm dB = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d^2} \sin(\alpha)~\mathrm dl$, norme de la projection de $\mathrm d \vec B_{reel}$ sur (Oz).
• On souhaite une expression en fonction de $\alpha~$ : on remarque que $d=\frac R{\sin(\alpha)}$ et on remplace : $\mathrm dB = \frac{\mu_0 I}{4 \pi R^2} \mathrm dl~\sin^3(\alpha)$
• Enfin, on intègre pour $l~$ compris entre 0 et $2 \pi R$ (qui donnera le bon résultat car $\alpha~$ est constant) : $B(M)= \int_0^{2\pi R} \frac{\mu_0 I}{4 \pi R^2}~\sin^3(\alpha)~\mathrm dl = \frac{\mu_0 I}{2R} \sin^3(\alpha)$

Fin de la démonstration

Champ magnétique, magnétostatique

Dipôle magnétique

Potentiel vecteur