Calcul littéral/Exercice/Sujet de brevet

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**Sujet de brevet**
Leçon : Calcul littéral

Exercice 3

Cet exercice est de niveau 9.

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[modifier] Exercice 1

Soit D = $9 x 2 - 1$

1. Quelle identité remarquable permet de factoriser D ?

2. Factoriser D.

Soit $E = \left(3x +1\right)^2 + 9x^2-1$

3. Développer E.

4. Factoriser E.

5. Déterminer les solutions de l'équation $6x \left(3x + 1\right) = 0$

Solution

1. D est sous la forme $a 2 - b 2$

2. $D = 9 x 2 - 1$

$= \left(3x\right)^2-\left(1\right)^2$

$= \left(3x + 1 \right)\left(3x - 1\right)$

3. $E = \left(3x +1\right)^2 + 9x^2-1$

$= \left(9x^2 + 2 \times 3x \times 1 + 1\right) + 9x^2 - 1$

$= 9 x 2 + 6 x + 1 + 9 x 2 - 1$

$= 18 x 2 + 6 x$

4. $E = 18 x 2 + 6 x$

$E = 6x \left(3x + 1\right)$

5. $6x \left(3x + 1\right) = 0$

$\begin{cases} 6x=0 \\ 3x+1=0 \end{cases}$

$\begin{cases} x=0 \\ 3x=-1 \end{cases}$

$\begin{cases} x=0 \\ x=\frac {-1}3 \end{cases}$

$S = \big\{ 0 ; \frac {-1}3 \big\}$

[modifier] Exercice 2

On donne l'expression suivante : $K \left(x\right) = \left(5x - 3\right)^2 + 6\left(5x - 3\right)$ .

Développer et réduire l'expression K(x).

Solution

$K \left(x\right) = \left(5x - 3\right)^2 + 6\left(5x - 3\right)$

= $\left(25x^2 -2 \times 5x \times 3 + 9\right) + 6\left(5x - 3\right)$

= $25 x 2 - 30 x + 9 + 30 x - 18$

= $25 x 2 - 9$

Calculer $K\left(\sqrt{2}\right)$

Solution

$K\left(\sqrt{2}\right) = 25\left(\sqrt{2}\right)^2 -9$

$K\left(\sqrt{2}\right) = 25\times 2 -9$

$K\left(\sqrt{2}\right)$ = 41

[modifier] Exercice 3

Développer et réduire : $\left(3 - \sqrt{5}\right)^2$ .

Solution

$\left(3 - \sqrt{5}\right)^2$

= $3^2 - 2 \times 3 \times \sqrt{5} + \sqrt{5}^2$

= $9 - 6 \times \sqrt{5} + 5$

= $14 - 6 \times \sqrt{5}$

[modifier] Exercice 4

On considère l'expression : $E = \left(x - 3\right)^2 - \left(x - 1\right)\left(x - 2\right)$

Développer et réduire E.

Solution

$E = \left(x - 3\right)^2 - \left(x - 1\right)\left(x - 2\right)$

= $\left(x^2 - 2 \times 3 \times x + 9\right) - \left(x^2 - 2x -x +2\right)$

= $x 2 - 6 x + 9 - x 2 + 2 x + x - 2$

= $- 3 x + 7$

Comment peut-on en déduire, sans calculatrice, le résultat de $99997^2 - 99999 \times 99998$ .

Solution

Il suffit de prendre x = 1000000

$99997^2 - 99999 \times 99998 = - 3 \times 1000000 + 7$

$99997^2 - 99999 \times 99998 = - 2999993$

[modifier] Exercice 5

Factoriser l'expression : $F = \left(4x + 1\right)^2 - \left(4x + 1\right)\left(7x - 6\right)$

Solution

$F = \left(4x + 1\right)^2 - \left(4x + 1\right)\left(7x - 6\right)$

= $\left[4x + 1\right]\left[\left(4x + 1\right)-\left(7x - 6\right)\right]$

Résoudre l'équation : $\left(4x + 1\right)\left(7 - 3x\right) = 0$

Solution

$\left(4x + 1\right)\left(7 - 3x\right) = 0$

$\begin{cases} 4x+1=0\\ 7-3x=0 \end{cases}$

$\begin{cases} 4x=-1\\ -3x=-7 \end{cases}$

$\begin{cases} x=-\frac14\\ x=\frac73 \end{cases}$

[modifier] Exercice 6

Calculer : $\left(4-\sqrt{5}\right)^2$

Solution

$\left(4-\sqrt{5}\right)^2$

= $4^2 - 2 \times 4 \times \sqrt{5} + \sqrt{5}^2$

= $16 - 8 \sqrt{5} + 5$

= $21 - 8 \sqrt{5}$

[modifier] Exercice 7

On donne $F = \left(4x-3\right)^2 - \left(x+3\right)\left(3-9x\right)$

Développer et réduire $\left(4x-3\right)^2$

Solution

$\left(4x-3\right)^2$

= $16x^2 - 2 \times 4x \times 3 +9$

= $16 x 2 - 24 x + 9$

Montrer que $F = \left(5x\right)^2$

Solution

$F = \left(4x-3\right)^2 - \left(x+3\right)\left(3-9x\right)$

= $16x^2 - 24x +9 - \left(x+3\right)\left(3-9x\right)$

= $16x^2 - 24x +9 - \left(3x -9x^2 +9 -27x\right)$

= $16 x 2 - 24 x + 9 - 3 x + 9 x 2 - 9 + 27 x$

= $25 x 2$

= $\left(5x\right)^2$

Trouvez les valeurs de x pour lesquelles F = 125

Solution

$F = \left(5x\right)^2$

$\left(5x\right)^2 = 125$

$\left(5x\right) = \pm \sqrt{125}$

$\left(5x\right) = \pm \sqrt{25 \times 5}$

$5x = \pm 5 \sqrt{5}$

$x = \pm \sqrt{5}$

[modifier] Exercice 8

Soit l'expression $E = \left(x - 1\right)^2 - 4$ .

Calculer E pour x = 0.

Solution

$E = \left(x - 1\right)^2 - 4$

= $\left(- 1\right)^2 - 4$

= 1 -

= -3

Calculer la valeur exacte de E pour $x=\sqrt{2}$ .

Solution

$E = \left(x - 1\right)^2 - 4$

= $E = \left(sqrt{2} - 1\right)^2 - 4$

= $E = \left(sqrt{2}^2 - 2 \times \sqrt{2} \times 1 - 1^2\right) - 4$

= $E = \left(2 - 2 \sqrt{2} - 1\right) - 4$

= $E = -3 - 2 \sqrt{2}$

Factoriser E.

Solution

Résoudre l'équation : (x + 1) (x - 3) = 0.

Solution

$\begin{cases} x + 1 = 0 \\ x - 3 = 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x = -1 \\ x = 3 \end{cases}$

[modifier] Exercice 9

On considère l'expression : $E = (2 x - 3)(5 - 2 x) - (2 x - 3) 2$

Développer et réduire E

Solution

$E = (2 x - 3)(5 - 2 x) - (2 x - 3) 2$

= $(10 x - 4 x 2 - 15 + 6 x) - (4 x 2 - 12 x + 9)$

= $28 x - 24$

Factoriser E.

Solution

$E = (2 x - 3)(5 - 2 x) - (2 x - 3) 2$

= $\left[2x-3\right] \left[ \left(5 - 2x\right) - \left(2x - 3\right) \right]$

= $\left[2x-3\right] \left[8 - 4x\right]$

Résoudre l'équation (2x - 3) (-4x + 8) = 0

Solution

$\begin{cases} 2x-3=0 \\ -4x+8=0 \end{cases}$

$\begin{cases} 2x=3 \\ -4x=-8 \end{cases}$

$\begin{cases} x=\frac 32 \\ x=-2 \end{cases}$

[modifier] Exercice 10

On donne l'expression suivante :

$F = (2 x + 3)2 - (x + 5)(2 x + 3)$

Développer et réduire.

Solution

$F = (2 x + 3)2 - (x + 5)(2 x + 3)$

= $(4 x 2 + 12 x 9) - (2 x 2 + 3 x + 10 x + 15)$

= $2 x 2 - x - 6$

Factoriser

Solution

$F = (2 x + 3)2 - (x + 5)(2 x + 3)$

= $\left[2x + 3\right] \left[ (2x + 3)-(x + 5)\right]$

= $\left[2x + 3\right] \left[ x + 8 \right]$

Résoudre l'équation (2x + 3)(x-2) = 0.

Solution

$\begin{cases} 2x+3=0 \\ x-2=0 \end{cases}$

$\begin{cases} 2x=-3 \\ x=2 \end{cases}$

$\begin{cases} x=-\frac32 \\ x=2 \end{cases}$

[modifier] Exercice 11

On pose $E = (5 x - 2)(x + 7) + (5 x - 2) 2$ .

Développer et réduire E.

Solution

Factoriser E.

Solution

Calculer E pour $x=\frac25$

Solution

Résoudre l'équation $(5 x - 2)(6 x + 5) = 0$ .

Solution

[modifier] Exercice 5

Développer en utilisant les identités remarquables, puis simplifier.

a) $(2x+3)^2+5(x-7)^2\,$

b) $(3x-5)^2-(2x-3)(2x+3)\,$

[modifier] Exercice 5

Développer en utilisant les identités remarquables, puis simplifier.

a) $(2x+7)^2+5(x-3)^2\,$

b) $(5x-3)^2-(3x-2)(3x+2)\,$

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Sommaire

[modifier] Exercice 1

[modifier] Exercice 2

[modifier] Exercice 3

[modifier] Exercice 4

[modifier] Exercice 5

[modifier] Exercice 6

[modifier] Exercice 7

[modifier] Exercice 8

[modifier] Exercice 9

[modifier] Exercice 10

[modifier] Exercice 11

[modifier] Exercice 5

[modifier] Exercice 5

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