Calcul avec les nombres complexes/Équations

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Équations
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Chapitre no8
Leçon : Calcul avec les nombres complexes
Chap. préc. : Écriture exponentielle et trigonométrique
Chap. suiv. : Formules de base
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Les équations dans l'ensemble des complexes se résolvent de la même façon que celles dans l'ensemble des réels. Il ne faut pas oublier que les nombres réels sont des nombres complexes particuliers, il faut donc les donner si nécessaire. Il est parfois nécessaire de poser z = x + iy mais à d'autres moments, laisser z facilite les calculs.

Pour comprendre comment résoudre ces équations, nous allons utiliser des exemples.

Équations du premier degré[modifier | modifier le wikitexte]

Équations du premier degré avec uniquement z[modifier | modifier le wikitexte]

Dans ce genre d'équation, il n'est pas utile de poser z = x + iy.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Équations du premier degré avec z et \bar z[modifier | modifier le wikitexte]

À l'inverse, il est nécessaire ici de poser z = x + iy et \bar z = x - iy, et il faut appliquer la définition de l'égalité de deux nombres complexes.

Illustration de l'exemple
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Équations du second degré[modifier | modifier le wikitexte]

Équation en {z}^2 = \alpha, \alpha\in\R[modifier | modifier le wikitexte]

Illustration des deux exemples
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Équations en \alpha {z}^2 + \beta z + \gamma = 0[modifier | modifier le wikitexte]

Nous pouvons résoudre des équations simples où (\alpha ,\beta ,\gamma) \in{\R}^3. Il suffit dans ce cas de calculer le déterminant complexe.

Illustration de l'exemple
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Nous pouvons aussi résoudre des équations où (\alpha ,\beta ,\gamma) \in{\C}^3. Seulement, nous avons généralement des informations en plus dans l'énoncé. Soit il faut trouver une solution imaginaire pure ou bien une solution réelle. Dans ce cas là, il faut remplacer z.

Illustration de l'exemple
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Équations particulières du troisième degré[modifier | modifier le wikitexte]

Comme pour les équations réelles du troisième degré, nous ne savons pas résoudre ce type d'équation, pour trouver les solutions, nous devons trouver une solution évidente ou nous devons être guidés. Les solutions évidentes sont toujours très simples, c'est-à-dire S = {-2, -1, 0, 1, 2}. Si la solution n'est pas assez simple, l'exercice demande de vérifier une solution.

Illustration de l'exemple
Début de l'exemple
Fin de l'exemple




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