Barycentre/Théorème de l'associativité du barycentre

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**Théorème de l'associativité du barycentre**
Leçon : Barycentre

Chapitre 3
Chap. préc. :	Barycentre de 3 points ou plus

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Barycentre : Théorème de l'associativité du barycentre
Barycentre/Théorème de l'associativité du barycentre », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Ce théorème est important car traduit une réalité physique. La recherche du centre de gravité d'une association complexe de systèmes physiques est grandement simplifiée par cette propriété, notamment lors de l'ajout d'un nouvel objet.

Sommaire

1 Cas de trois points pondérés
- 1.1 Énoncé
- 1.2 Exemple
2 Généralisation à n points pondérés
- 2.1 Énoncé
- 2.2 Exemple
3 Exercices

[modifier] Cas de trois points pondérés

[modifier] Énoncé

Théorème

Soient A, B et C trois points de l'espace. Soient $α$ , $β$ et $γ$ trois réels vérifiant :

$\alpha+\beta+\gamma \not = 0$
$\alpha+\beta \not = 0$

Soient:

G le barycentre du système de points pondérés {(A, $α$ );(B, $β$ ),(C, $γ$ )}
H le barycentre du système de points pondérés {(A, $α$ );(B, $β$ )}

Alors G le barycentre du système de points pondérés {(H, $α + β$ );(C, $γ$ )}

Démonstration

Par définition de G : $\alpha \vec{GA} + \beta \vec{GB} + \gamma \vec{GC} = \vec 0$

donc $\alpha (\vec{GH}+\vec{HA}) + \beta (\vec{GH}+\vec{HAB}) + \gamma \vec{GC} = \vec 0$

donc $(\alpha+\beta) \vec{GH} + \alpha \vec{HA} + \beta \vec{HB} + \gamma \vec{GC} = \vec 0$

or, par définition de H : $\alpha \vec{HA} + \beta \vec{HB} = \vec 0$

Finalement $(\alpha+\beta) \vec{GH} + \gamma \vec{GC} = \vec 0$

Ainsi, G apparaît comme barycentre du système de points pondérés {(H, $α + β$ );(C, $γ$ )}.

[modifier] Exemple

Exemple

Soient :

A,B et C trois points de l'espace
G le barycentre du système de points pondérés {(A,1);(B,2);(C,1)} (qui existe car $1+2+1 \not = 0$ )
H le milieu de [AC]

Alors le théorème de l'associativité du barycentre assure que G est le barycentre du système de points pondérés {(B,2);(H,1+1)}, donc de {(B,2);(H,2)}, donc de {(B,1);(H,1)}.

Donc G est le milieu de [BH].

[modifier] Généralisation à n points pondérés

[modifier] Énoncé

Théorème

Soient $A 1, A 2,..., A n$ n points de l'espace. Soient $(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)$ n réels et $k \in \{1,2,...,n\}$ tel que

$\sum_{i=1}^n \alpha_i \not = 0$
$\sum_{i=1}^k \alpha_i \not = 0$

Soient:

G le barycentre du système de points pondérés $\{ (A_1,\alpha_1); (A_2,\alpha_2); \cdots ;(A_n,\alpha_n) \}$
H le barycentre du système de points pondérés $\{ (A_1,\alpha_1); (A_2,\alpha_2); \cdots ;(A_k,\alpha_k) \}$

Alors G le barycentre du système de points pondérés $\left \{ \left (H,\sum_{i=1}^k \alpha_i \right );(A_{k+1},\alpha_{k+1}); \cdots ;(A_n,\alpha_n) \right \}$

Là encore, il vaut mieux comprendre le principe que retenir les formules. En faisant attention à l'existence, le barycentre de tous les points est le barycentre de {(barycentre de certains points, somme des coefficients de ces points), (autres points avec leurs coefficients)

[modifier] Exemple

Exemple

Soient :

A,B,C,D et E cinq points de l'espace
G le barycentre du système de points pondérés {(A,1);(B,2);(C,-3);(D,1);(E,-2)} (qui existe car $1+2-3+1-2 \not = 0$ )
H le barycentre du système de points pondérés {(B,2);(D,1);(E,-2)} (qui existe car $2+1-2 \not = 0$ )

Alors le théorème de l'associativité du barycentre assure que G est le barycentre du système de points pondérés {(A,1);(C,-3);(H,1)}

[modifier] Exercices

Voir les exercices sur : Isobarycentre du tétraèdre.

Ce chapitre, assez technique, peut faire l'objet d'exercices de niveau 11 ou 12.

Barycentre

Barycentre de 3 points ou plus

Barycentre/Théorème de l'associativité du barycentre

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Sommaire

[modifier] Cas de trois points pondérés

[modifier] Énoncé

[modifier] Exemple

[modifier] Généralisation à n points pondérés

[modifier] Énoncé

[modifier] Exemple

[modifier] Exercices

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