Approfondissement sur les suites numériques/Suites récurrentes d'ordre un

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**Suites récurrentes d'ordre un**
Leçon : Approfondissement sur les suites numériques

Chapitre 5
Chap. préc. :	Relations de comparaison
Chap. suiv. :	Suites récurrentes d'ordre deux

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Approfondissement sur les suites numériques/Suites récurrentes d'ordre un », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Définition

Définition

Soit a, b deux nombres réels ou complexes. Soit n > 0 un entier naturel. On appelle suite récurrente linéaire d'ordre un toute suite définie par une relation de la forme :

u n = a u n - 1 + b

étant donné une condition initiale sur u₀.

De telles suites peuvent être entièrement résolues, et c'est l'objet de ce premier chapitre.

[modifier] Étude de cas particuliers

Avant de nous lancer dans la résolution générale, regardons quelques cas particuliers :

si a = 0, il s'agit d'une suite constante, sans grand intérêt ;
si a = 1, on a une suite arithmétique, que l'on sait entièrement résoudre : $u n = u 0 + n b$ ;
si b = 0, on a une suite géométrique, que l'on sait entièrement résoudre : $u_n = u_0 \times a^n$ .

L'idée, dans un premier temps, va être d'observer ce qui se passe pour les premiers termes de la suite.

[modifier] Les premiers termes de la suite

$u_1 = au_0 + b\,$

$\begin{align} u_2 & = au_1 + b \\ \ & = a \left( au_0 + b \right) + b \\ \ & = a^2u_0 + ab + b \end{align}$

$\begin{align} u_3 & = au_2 + b \\ \ & = a \left( a^2u_0 + ab + b \right) + b \\ \ & = a^3u_0 + a^2b + ab + b\end{align}$

$\begin{align} u_4 & = au_3 + b \\ \ & = a \left(a^3u_0 + a^2b + ab + b \right) + b \\ \ & = a^4u_0 + a^3b + a^2b + ab + b\end{align}$

$\begin{align} u_5 & = au_4 + b \\ \ & = a \left(a^4u_0 + a^3b + a^2b + ab + b \right) + b \\ \ & = a^5u_0 + a^4b + a^3b + a^2b + ab + b\end{align}$

$\ldots$

Il semblerait bien que :

$u_n = a^nu_0 + a^{n-1}b + \ldots + ab + b$

Vérifions que cette solution marche pour les cas particuliers :

si a = 0, notre formule donne une suite constante ;
si b = 0, notre formule donne $u_n = u_0 \times a^n$ ;
si a = 1, alors elle donne :

$u_n = 1^nu_0 + 1^{n-1}b + \ldots + 1b + b = u_0 + b + \ldots + b = u_0 + nb$ .

Est-ce bon dans le cas général ?

[modifier] Le cas général

Réécrivons la formule précédente sous une forme plus générique :

$u_n = a^nu_0 + a^{n-1}b + \ldots + ab + b = a^nu_0 + \sum_{i=0}^{n-1} a^ib$

La relation de récurrence que doit vérifier la suite est :

u n = a u n - 1 + b

Ce que l'on peut également écrire au rang suivant :

u n + 1 = a u n + b

On a par ailleurs, avec notre formule :

$\begin{align} u_{n+1} & = a^{n+1}u_0 + \sum_{i=0}^{n} a^ib \\ \ & = a \times a^nu_0 + b + \sum_{i=1}^{n} a^ib \\ \ & = a \left[ a^nu_0 + \sum_{i=1}^{n} a^{i-1}b \right] + b \\ \ & = a \left[ a^nu_0 + \sum_{i=0}^{n-1} a^ib \right] + b \\ \ & = a u_n + b \end{align}$

[modifier] Conclusion

Nous venons de montrer que les suites récurrentes linéaires d'ordre un admettent toujours une (et unique) solution :

$u_n = a^nu_0 + b\sum_{i=0}^{n-1} a^i$

Remarquons alors que la somme de droite est une somme géométrique, que l'on sait donc calculer. Si a = 1, alors on sait que :

$\sum_{i=0}^{n-1} a^i = n \cdot a = n$

et, dans le cas contraire,

$\sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1 - a^n}{1 - a}$

Pour conclure, la solution est comme suit :

Suite récurrente linéaire d'ordre un

Soit a et b deux réels. Les suites solutions de la relation de récurrence :

$u_{n+1} = a u_n + b\,$

Sont les suites de la forme :

$\begin{cases} n b + u_0 & \mathrm{si} \quad a = 1 \\ a^nu_0 + b\frac{1-a^n}{1-a} & \mathrm{si} \quad a \neq 1 \end{cases}$

où u₀ est un réel.

L'étude de la convergence de ces suites, relativement facile à partir des expressions ci-dessus, est proposée en exercice.

Approfondissement sur les suites numériques

Relations de comparaison

Suites récurrentes d'ordre deux

Approfondissement sur les suites numériques/Suites récurrentes d'ordre un

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Sommaire

[modifier] Définition

[modifier] Étude de cas particuliers

[modifier] Les premiers termes de la suite

[modifier] Le cas général

[modifier] Conclusion

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