Approfondissement sur les suites numériques/Suites récurrentes d'ordre deux

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**Suites récurrentes d'ordre deux**
Leçon : Approfondissement sur les suites numériques

Chapitre 6
Chap. préc. :	Suites récurrentes d'ordre un
Chap. suiv. :	Suites récurrentes d'ordre quelconque

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Sommaire

1 Définitions
2 Cas homogène
3 Cas général
- 3.1 Premier cas : P(1) n'est pas nul
- 3.2 Second cas : P(1) = 0
  - 3.2.1 Second cas, premier sous-cas : P'(1) n'est pas nul
  - 3.2.2 Second cas, second sous-cas : P'(1) = 0
4 Cas des suites réelles
5 Cas des suites entières
6 Résumé et conclusion

[modifier] Définitions

Définitions

Soit a, b, c, d quatre nombres réels ou complexes. Soit n > 1 un entier naturel. On appelle suite récurrente linéaire d'ordre deux toute suite définie par une relation de récurrence de la forme :

a u n + 2 + b u n + 1 + c u n = d

une condition sur $u 0$ et $u 1$ étant donnée.

On appelle suite récurrente linéaire homogène associée à la suite précédente la suite définie par la relation :

a u n + 2 + b u n + 1 + c u n = 0

.

[modifier] Cas homogène

On cherche à résoudre la suite définie par sa relation de récurrence :

a u n + 2 + b u n + 1 + c u n = 0

.

On note $\mathcal S_0$ l'ensemble des solutions à cette équation.

Théorème

L'ensemble $\mathcal S_0$ est de dimension 2.

Démonstration

Toute solution au problème homogène vérifie la relation de récurrence. Ainsi, une telle suite est entièrement définie par la donnée de u₀ et de u₁. L'application définie par :

$\phi : \left( u_0, u_1 \right) \mapsto \left( u_n \right)_{n \in \mathbb N}$

est ainsi une bijection, donc :

$\mathcal S_0 \simeq \mathbb R^2$

En conclusion, $\mathcal S_0$ est de dimension 2.

On pose le polynôme :

$P \left(X \right) = aX^2 + bX + c$

Ce polynôme admet deux racines, réelles ou complexes, λ et μ, avec éventuellement λ = μ. On peut donc écrire :

$P \left( X \right) = \left( X - \lambda \right) \cdot \left( X - \mu \right)$

Théorème

Si $\lambda \neq \mu$ , alors :

$\left( \left( \lambda^n \right)_{n \in \mathbb N}, \left( \mu^n \right)_{n \in \mathbb N} \right)$

est une base de $\mathcal S_0$ .

Démonstration

Notons $u n = λ n$ pour tout n naturel, alors, pour tout n :

$\begin{align} au_{n+2} + bu_{n+1} + cu_n & = a\lambda^{n+2} + b\lambda^{n+1} + c\lambda^n \\ \ & = \lambda^n \left(a \lambda^2 + b \lambda + c \right) \\ \ & = \lambda^n P \left( \lambda \right) \\ \ & = 0 \end{align}$

De même pour μ, qui est l'autre racine de P. Montrons maintenant que ces deux solutions sont linéairement indépendantes : soient $\left( \alpha, \beta \right) \in \mathbb K^2$ tels que $\alpha \left( \lambda^n \right)_n + \beta \left( \mu^n \right)_n = 0$ . Alors :

pour n = 0, $α + β = 0$ , donc $β = - α$ ;
pour n = 1, $αλ + βμ = 0$ , donc $\alpha \left( \lambda - \mu \right) = 0$ .

Or les deux racines sont distinctes, par hypothèse, donc $α = β = 0$ .

Conclusion : $\left( \left( \lambda^n \right)_{n \in \mathbb N}, \left( \mu^n \right)_{n \in \mathbb N} \right)$ est une base de $\mathcal S_0$ .

Ce résultat n'est pas valable si P admet une racine double, car alors il ne s'agit plus d'une famille linéairement indépendante. Dans ce cas, λ est également racine de la dérivée de P :

$P' \left( X \right) = 2aX + b$

Nous allons montrer qu'alors :

Théorème

Si λ = μ, alors :

$\left( \left( \lambda^n \right)_{n \in \mathbb N}, \left( n\lambda^n \right)_{n \in \mathbb N} \right)$

est une base de $\mathcal S_0$ .

Démonstration

On pose $u n = n λ n$ , vérifions que ce cas est solution :

$\begin{align} au_{n+2}+bu_{n+1}+cu_{n} & = a \left(n+2 \right)\lambda^{n+2} + b \left(n+1 \right)\lambda^{n+1} + cn\lambda^n \\ \ & = a n\lambda^{n+2} +2a\lambda^{n+2} + bn\lambda^{n+1} + b\lambda^{n+1} + cn\lambda^n \\ \ & = n \lambda^n \left( a \lambda^2 + b \lambda + c \right) + \lambda^{n+1} \left( 2a \lambda + b \right) \\ \ & = n\lambda^n P \left( \lambda \right) + \lambda^{n+1} P'\left( \lambda \right) \\ \ & = 0 \end{align}$

Ce sont naturellement des suites linéairement indépendantes. La démonstration est proposée en exercice.

[modifier] Cas général

On note $\mathcal S$ l'ensemble des solutions au cas général. Commençons par montrer ce petit théorème utile.

Théorème

$\mathcal S$ est un espace affine de direction $\mathcal S_0$ . Autrement dit, toute solution au cas général est somme d'une solution homogène et d'une solution particulière.

Démonstration

Soit $v \in \mathcal S$ . Alors, pour toute autre solution $w \in \mathcal S$ , $w - v$ vérifie :

$a \left( w_{n+2} - v_{n+2} \right) + b \left( w_{n+1} - v_{n+1} \right) + c \left( w_{n} - v_{n} \right) = 0$

Ainsi, $\left(w-v\right) \in \mathcal S_0$ .

Étudions maintenant différents cas.

[modifier] Premier cas : P(1) n'est pas nul

On suppose que :

$P\left( 1 \right) = a + b + c \neq 0$

Alors la suite (constante) de terme général :

$v_n = \frac{d}{a+b+c}$

vérifie la relation :

$av_{n+2} + bv_{n+1} + cv_n - d = \left( a + b + c \right) \frac{d}{a + b + c} - d = d - d = 0$

Conclusion : $\left( v_n \right)_{n \in \mathbb N}$ est solution particulière de l'équation générale.

[modifier] Second cas : P(1) = 0

On suppose maintenant que :

$P \left( 1 \right) = a + b + c = 0$

Posons $v n = α n$ avec un certain réel $α$ . Alors, si $v n$ est solution :

$\begin{align} av_{n+2} + bv_{n+1} + cv_n & = a \alpha \left( n+2 \right) + b \alpha \left( n+1 \right) + c \alpha n -d \\ \ & = n \alpha \left( a + b + c \right) + \alpha \left( 2a + b \right) \\ \ & = \alpha \left( 2a + b \right) \\ \ & = \alpha P'(1) \\ \ & = d \end{align}$

[modifier] Second cas, premier sous-cas : P'(1) n'est pas nul

On suppose que P'(1) n'est pas nul, ce qui donne tout de suite la solution :

$v_n = \frac{dn}{2a + b}$

[modifier] Second cas, second sous-cas : P'(1) = 0

On suppose que P'(1) = 0. Posons la suite de terme général :

v n = α n 2

pour un certain réel $α$ .

Dans ce cas, on trouve par les mêmes méthodes que précédemment que la solution est une suite de terme général :

$v_n = \frac{dn^2}{2a}$

[modifier] Cas des suites réelles

Lors qu'on traite de suites réelles, l'un des cas ci-dessus amène à des solutions (illusoirement) complexes. Supposons qu'en effet le polynôme caractéristique d'une suite récurrente ne possède que deux racines, complexes et conjuguées l'une de l'autre :

$\lambda_1 = \rho e^{i \theta}\,$ et $\lambda_2 = \lambda_1^{*} = \rho e^{-i \theta}$

Les solutions sont, dans le cas général, toutes les suites de la forme :

$u_n = A_1 \lambda_1^n + B \lambda_2^n$

En particulier, les suites pour lesquelles A₁ et A₂ sont conjugués sont également solution. On a alors : $A_1 = A_2^{*}$

Remplaçant cela dans la solution générale :

$u_n = A_1 \lambda_1^n + A_1^{*} \lambda_1^{*n} = \left(A_1 \lambda_1^n \right) + \left(A_1 \lambda_1^n \right)^{*}$

On rappelle que la somme d'un complexe et de son conjugué vaut deux fois la partie réelle de ce complexe. Notons par ailleurs a la partie réelle de A₁ et b sa partie imaginaire. Ainsi :

$\begin{align} u_n = 2 \Re \left( A_1 \lambda_1^n \right) & = 2 \Re \left( A_1 \rho^n e^{in\theta} \right) \\ \ & = 2 \rho^n \Re \left( A_1 e^{in\theta} \right) \\ \ & = 2 \rho^n \Re \left( a e^{in\theta} + ib e^{in\theta} \right) \\ \ & = 2 \rho^n \left[ a \cos \left(n \theta \right) + b \sin \left(n \theta \right) \right]\end{align}$

En conclusion, dans le cas général, les solutions réelles sont de la forme :

$u_n = \rho^n \left[ A \cos \left(n\theta \right) + B \sin \left(n\theta \right) \right]$

[modifier] Cas des suites entières

On peut également avoir affaire à des suites définie sur $\scriptstyle \mathbb N$ ou $\scriptstyle \mathbb Z$ , comme la suite de Fibonacci (proposée en exercice). Les formules ci-dessus n'ont aucune raison de donner un résultat entier...

C'est pourtant le cas, mais utiliser l'ordinateur ou la calculette peut s'avérer trompeur — l'accumulation des erreurs d'arrondis conduit souvent à des résultats non-entiers, voire délirants. Dans beaucoup de cas, prendre l'entier le plus proche du résultat ainsi obtenu convient, mais il ne s'agit pas d'une règle générale.

[modifier] Résumé et conclusion

Résumé

L'étude des suites récurrentes linéaires d'ordre deux se résume à l'étude de leur polynôme caractéristique. La solution générale est la somme de la solution de l'équation homogène et d'une solution particulière.

Conclusion

Ces suites peuvent toujours être résolues complètement, avec un ensemble restreint d'outils mathématiques. Le problème se généralise sans problème aux nombres complexes. La connaissance des racines d'un polynôme d'ordre deux suffit en effet toujours à résoudre ces équations.

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[modifier] Second cas : P(1) = 0

[modifier] Second cas, premier sous-cas : P'(1) n'est pas nul

[modifier] Second cas, second sous-cas : P'(1) = 0

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