Application linéaire/Matrice

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Dimension finie
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Chapitre 5
Leçon : Application linéaire
Chap. préc. : Dimension finie
Chap. suiv. : Continuité


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Application linéaire/Matrice », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

E, F et G sont des \mathbb K-espaces vectoriels de dimension finie.

[modifier] Définitions

On note d'abord dimE = p et dimF = n.

On peut alors construire une base e = (e_i)_{1\leq i \leq n} de E et une base \varepsilon =(\varepsilon_i)_{1\leq i \leq p} de F. Dès lors, tout endomorphisme f \in \mathcal{L}(E,F) est entièrement défini par les images par f des vecteurs (ei) sur les vecteurs (\varepsilon_i).
Pour tout ej, on pose f(e_j) = \sum_{i=1}^n a_{ij} \varepsilon_i. Alors, pour tout x = \sum_{j=1}^p x_j e_j, on a y=f(x) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^p a_{ij} x_j \varepsilon_i, soit

\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{11}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{11}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{np} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_p \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\sum_{j=1}^p a_{1j} x_j \\ \sum_{j=1}^p a_{2j} x_j \\ \vdots \\ \sum_{j=1}^p a_{nj} x_j \end{pmatrix}

Dans ce cas, on définit alors


Définition

La matrice A = (a_{ij})_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq p} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{11}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{11}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{np} \end{pmatrix} est appelée matrice de l'application f pour les bases e et \varepsilon
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