Application linéaire/Dimension finie

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**Dimension finie**
Leçon : Application linéaire

Chapitre 4
Chap. préc. :	Projecteurs, symétries

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Application linéaire : Dimension finie
Application linéaire/Dimension finie », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

E, F et G sont des $\mathbb K$ -espaces vectoriels de dimension finie.

[modifier] Isomorphisme fondamental

Théorème

Soit $u\in\mathcal L(E,F)$ . $u\,$ définit un isomorphisme de tout supplémentaire de $\ker u\,$ sur $\operatorname{Im} u\,$ .

Démonstration

Soit $G\,$ un supplémentaire de $\ker u\,$ dans $E\,$ . Il faut montrer que u\, définit un isomorphisme de $G\,$ dans $\operatorname{Im}u\,$ , c'est-à-dire que la restriction de $u\,$ à $G\,$ (notée $u_G\,$ ) est une bijection entre $G\,$ et $\operatorname{Im} u\,$ :

Montrons que $u_G\,$ est injective, c'est-à-dire que $\ker u_G = \{0_E\}\,$ :

Soit $x\in \ker u_G\,$ . Alors $x\in G\,$ (ensemble de définition de $u_G\,$ ) et $x\in \ker u\,$ , donc $x\in G\cap \ker u \Rightarrow x = 0_E\,$ puisque $\ker u\,$ et $G\,$ sont supplémentaires.

Montrons que $u_G\,$ est surjective, c'est-à-dire que $\operatorname{Im}u_G = \operatorname{Im}u\,$ :

On sait que $\operatorname{Im}u_G \subset \operatorname{Im}u\,$ . Reste à montrer que $\operatorname{Im} u \subset \operatorname{Im} u_G\,$ .
Soit maintenant $y\in \operatorname{Im} u\,$ . Alors par définition, il existe $x_y\in E\,$ tel que $u(x_y) = y\,$ . On veut montrer que $y\in \operatorname{Im} u_G\,$ ce qui revient à montrer qu'il existe $x\in G\,$ tel que $u(x) = y\,$ .
On peut décomposer $x_y\,$ en $x_y = x_1 + x_2\,$ avec $x_1\in G\,$ et $x_2\in \ker u\,$ (par supplémentarité de $G\,$ et $\ker u\,$ dans $E\,$ ).
Ainsi $y = u(x_y) = u(x_1 + x_2) = u(x_1) + u(x_2)\,$ par linéarité de $u\,$ .
Donc $y = u(x_1) + 0 = u(x_1)\,$ car $x_2 \in \ker u \Rightarrow u(x_2) = 0\,$ .
Finalement, il existe $x_1\in G\,$ tel que $u(x_1) = y\,$ donc $y\in \operatorname{Im} u \Rightarrow y\in \operatorname{Im} u_G\,$ , ce qui permet de conclure.

[modifier] Rang d'une application linéaire

[modifier] Définition

Définition

Soit $u\in\mathcal L(E,F)$ . Le rang de u, noté rg(u), est la dimension de Im(u).

Théorème

Soit $u\in\mathcal L(E,F)$ .

$\forall v\in\mathcal L(F,G)\textrm{~bijective~},\mathrm{rg}(v\circ u)=\mathrm{rg}(u)$
$\forall v\in\mathcal L(G,E)\textrm{~bijective~},\mathrm{rg}(u\circ v)=\mathrm{rg}(u)$

La composition par un isomorphisme laisse le rang invariant.

[modifier] Théorème du rang

Le théorème du rang est un théorème-clé de la manipulation des applications linéaires. Il est indispensable de le connaître parfaitement.

Théorème

Soit $u\in\mathcal L(E,F)$ .

$\dim_{\mathbb K}(E)=\dim_{\mathbb K}(\mathrm{Ker}(u))+\mathrm{rg}(u)$

[modifier] Caractérisations de bijectivité

Théorème

On suppose $\dim_\mathbb K(E)=\dim_\mathbb K(F)=n$ .

$u\in\mathcal L(E,F)$ est un isomorphisme ssi rg(u)=n ssi Ker(u)={0}.

Théorème

$u\in\mathcal L(E)$ est inversible ssi $\mathrm{rg}(u)=\dim_\mathbb K(E)$ ssi Ker(u)={0}.

Application linéaire

Projecteurs, symétries

Application linéaire/Dimension finie

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Sommaire

[modifier] Isomorphisme fondamental

[modifier] Rang d'une application linéaire

[modifier] Définition

[modifier] Théorème du rang

[modifier] Caractérisations de bijectivité

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