Étude des systèmes électriques/Condensateur et circuit RC

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**Condensateur et circuit RC**
Leçon : Étude des systèmes électriques

Chapitre 1
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Chap. suiv. :	Bobine d'induction et circuit RL

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Symbole du condensateur dans un circuit.

[modifier] Le condensateur

Il existe différentes formes et différents types de condensateurs. Un condensateur est un dipôle constitué de 2 lames métalliques (les armatures) séparées par un isolant (aussi appelé diélectrique).

Rôle du condensateur : il permet d'emmagasiner l'énergie et de la redistribuer quand il y en a besoin.

[modifier] Charge d'un condensateur

Les charges s'accumulent sur les armatures.

Lorsqu'on soumet le condensateur à une tension électrique, il se charge. Une fois chargé, il conserve ses charges sur ses armatures même lorsqu'on le débranche : c'est un réservoir électrique. Si on relie les deux bornes d'un condensateur chargé par un fil électrique il se décharge immédiatement ; il ne faut donc pas toucher les deux bornes d'un condensateur chargé (il y a un risque de choc électrique).

[modifier] Description du fonctionnement

Le générateur peut être considéré comme une pompe à électrons. À chaque fois qu'un électron arrive sur l'armature $a$ un électron de l'armature $b$ se dirige vers la borne positive de la pile. Si une charge négative quitte l'armature $b$ alors il apparait sur cette armature une charge positive. À chaque instant $q a = - q b$ . Petit à petit, il se crée une différence de potentiel électrique entre les armatures $a$ et $b$ . Quand cette différence de potentiel (c'est-à-dire la tension) est égale à celle de la pile, le condensateur est chargé. Le courant ne circule plus dans le circuit.

[modifier] Relation entre intensité et charge du condensateur

[modifier] Définition de l'intensité

La variation d'intensité dans un condensateur est décrite par la formule suivante :

$i = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta q}{\Delta t}$

donc

$i = \frac{dq}{dt}$

$[A] = \frac{[C]}{[s]}$

où $q$ est la charge électrique portée par l'une des deux armatures et exprimée en coulomb (symbole $C$ ). Cette intensité peut être soit positive soit négative, selon que le condensateur se charge ou se décharge.

[modifier] Relations entre les charges

Un électron a une charge négative. Lorsqu'un condensateur est chargé, l'une des armatures présente un excès d'électrons et l'autre armature présente un défaut d'électrons. Soit un condensateur constitué de deux armatures notées $a$ et $b$ . Les charges aux bornes d'un condensateur sont égales mais opposées. On note :

$q_a = -q_b = q\,$

[modifier] Capacité d'un condensateur

Condensateurs chimiques de différentes capacités.

La charge $q$ d'un condensateur est proportionnelle à la tension à ses bornes. On note :

$q = C\times u_c$

$[C] = [F]\times [V]$

$C$ est la capacité du condensateur, elle s'exprime en farads (symbole $F$ ).

Comme le farad est une unité très grande, les capacités que l'on rencontre le plus fréquemment s'échelonnent entre $10 - 3$ et $10 - 12$ farad, c'est-à-dire entre le millifarad ( $m F$ ) et le picofarad ( $p F$ ).

[modifier] Condensateur en convention récepteur

Schéma en convention récepteur.

Lors de la charge ou de la décharge du condensateur, $q$ change.

$q$ est une fonction du temps : $q (t)$ .

$i(t) = \frac{dq(t)}{dt}$ or $q (t) = C . u C (t)$ donc $i(t) = \frac{dC.u_C(t)}{dt} = C.\frac{du_C(t)}{dt}$

$i = \frac{Cdu}{dt}$ pour $u$ et $i$ de sens « opposés ». Si $u$ et $i$ sont de même « sens » :

[modifier] Réponse d'un circuit RC à un échelon de tension

On appelle échelon de tension le passage brutal de la tension d'une valeur nulle à une valeur non nulle.
$u_c(0) = 0\,$

[modifier] Équation différentielle

Schéma 1

D'après la loi d'additivité des tensions, $E = u_R+u_c\,$

D'après la loi d'Ohm, $u_R = Ri\,$

Donc $E = Ri+u_c\,$

Par définition $i = \frac{dq}{dt}$ et $q = Cu_c\,$

Donc $i = \frac{d(Cu_c)}{dt} = C\frac{du_c}{dt}$

Donc $E = RC\frac{du_c}{dt} + u_c\,$

Équation différentielle du circuit RC :

$\frac{E}{RC} = \frac{du_c}{dt}+\frac{1}{RC}u_c$

[modifier] Solution

La solution de cette équation différentielle est de la forme $u_c(t) = Ae^{-kt}+B\,$

quand $t\rightarrow\infty , u_c = B$ d'où $B = E\,$
quand $t = 0\,$ , $u_c(0) = 0 = A+B\,$ d'où $A = -B = -E\,$
$\frac{d(-Ee^{-kt}+E)}{dt}+\frac{1}{RC}(-Ee^{-kt}+E) = \frac{E}{RC}$

$\Rightarrow-k(-Ee^{-kt})+\frac{1}{RC}(-Ee^{-kt}+E) = \frac{E}{RC}$

$\iff-k(-Ee^{-kt})+\frac{1}{RC}(-Ee^{-kt})+\frac{E}{RC} = \frac{E}{RC}$

$\iff-Ee^{-kt}(-k+\frac{1}{RC}) = 0$

Or cela est valable pour toute valeur de t, et notamment pour t = 0 donc $-k+\frac{1}{RC} = 0$ donc $k = \frac{1}{RC}$

Solution de l'équation différentielle :

Tension aux bornes du condensateur en fonction du temps :
$u_c(t) = -Ee^{-kt}+E\,$

$u_c(t) = E(1-e^{-\frac{t}{RC}})$ .

[modifier] Constante de temps du circuit RC

[modifier] Expression et analyse dimensionnelle

On pose $\tau\,$ (tau) tel que Cherchons la dimension de $\tau\,$ :

$R = \frac{u}{i} = \frac{[V]}{[A]}$ et $C = \frac{q}{u} = \frac{i.t}{u} = \frac{[A].[s]}{[V]}$

or $\tau\, = R.C\,$ donc $\tau\, = \frac{[V].[A].[s]}{[A].[V]}$

$\Rightarrow$

$\tau = [s]\,$

Le produit $R . C$ est donc un temps. En unités internationales, $\tau\,$ s'exprime en secondes. On l'appelle la constante de temps du circuit RC.

[modifier] Détermination de la constante de temps

Tracer la courbe de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps lors de sa charge.
Tracer une droite d'ordonnée la valeur finale de la charge ( $u m a x$ ) du condensateur.
Tracer une droite, partant de l'origine de la courbe et tangente à la courbe en ce même point.
Le point d'intersection des ces deux droites à lieu à l'abscisse d'instant $τ$ et à cette abscisse, l'ordonnée de la courbe vaut $\textstyle{(1-e^{-1})u_{max} \approx 0,63u_{max}}$

Au cours de la charge du condensateur à travers une résistance $R$ , sous une tension $E$ du générateur :

À $t = τ$ , $u C = 0,63 E$
À $t = 5τ$ , $u C = 0,99 E$ (Le condensateur est pratiquement chargé)

[modifier] Influence des caractéristiques du circuit RC sur $τ$

Comme on l'a vu plus haut, $\tau = R \cdot C$ , Cela implique que,

Si R augmente, $τ$ augmente;
Si C augmente, $τ$ augmente.

[modifier] Décharge d'un condensateur dans une résistance

$u_c(0) = E\,$

[modifier] Établissement de l'équation différentielle

D'après la loi d'additivité des tensions, $u_R + u_c = 0\,$
Or $u_R = Ri\,$ et $i = \frac{dq}{dt} = \frac{d(Cu_c)}{dt} = C\frac{du_c}{dt}$
On remplace : $RC\frac{du_c}{dt} + u_c = 0$
Soit

$\frac{du_c}{dt} + u_c\frac{1}{RC} = 0$

[modifier] Solution

On a une solution de la forme $u_c(t) = Ae^{-kt}+B\,$

On injecte dans l'équation différentielle :

$\frac{d(Ae^{-kt}+B)}{dt} + (Ae^{-kt}+B)\frac{1}{RC} = 0$

$-kAe^{-kt} + Ae^{-kt}\frac{1}{RC} + B\frac{1}{RC} = 0$

$Ae^{-kt}\left (-k+\frac{1}{RC}\right ) + \frac{B}{RC} = 0$

Par identification des coefficients, $-k+\frac{1}{RC} = 0$

d'où $k = \frac{1}{RC}$ , de même on trouve $B = 0\,$

Les conditions initiales donnent A :

à $t = 0, u_c(0) = E\,$ d'où $A = E\,$

Solution de l'équation différentielle :

$u_c(t) = Ee^{-\frac{t}{RC}}$
soit

$u_c(t) = Ee^{-\frac{t}{\tau}}$

[modifier] Énergie dans un condensateur

En convention récepteur, la puissance du condensateur s'écrit: p(t)=u(t)*i(t) Or, i(t)=C(du/dt)

On a donc p(t)=u(t)*C(du/dt)=0.5*C*(du²/dt)

Puis dE/dt=p(t), on en déduit:

E(t)=0.5*C*u²;

L'expression de l'énergie dans un condensateur dépend du temps. Sa formule est la suivante :

$E_C = \frac{1}{2}Cu_C^2 = \frac{1}{2}\frac{q^2}{C}$

Démonstration :

L'énergie électrique fournie et emagasinée lors de la charge sous une tension u est de la forme :

$W_E = \int_0^t P.dt = \int_0^u d(1/2C.u^2) = 1/2 C . u^2$

En effet,

P = u . i = u . C . d u / d t = 1 / 2 C . d u 2 / d t

[modifier] Valeur Équivalente

Il est possible de calculer la valeur équivalentes de plusieurs condensateurs:

En série: $\frac{1}{C1} + \frac{1}{C2} ... + \frac{1}{Cn} = \frac{1}{Ceq}$
En parallèles : $C 1 + C 2... + C n = C e q$

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[modifier] Le condensateur

[modifier] Charge d'un condensateur

[modifier] Description du fonctionnement

[modifier] Relation entre intensité et charge du condensateur

[modifier] Définition de l'intensité

[modifier] Relations entre les charges

[modifier] Capacité d'un condensateur

[modifier] Condensateur en convention récepteur

[modifier] Réponse d'un circuit RC à un échelon de tension

[modifier] Équation différentielle

[modifier] Solution

[modifier] Constante de temps du circuit RC

[modifier] Expression et analyse dimensionnelle

[modifier] Détermination de la constante de temps

[modifier] Influence des caractéristiques du circuit RC sur $τ$

[modifier] Décharge d'un condensateur dans une résistance

[modifier] Établissement de l'équation différentielle

[modifier] Solution

[modifier] Énergie dans un condensateur

[modifier] Valeur Équivalente

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