Étude de fonctions/Fiches/Étude

En cours de réalisation: étude complète d'une fonction: $f:x \to x^{2n} ln(x^2) + \frac{x^3+x+2}{x}$ où n > 1

Comme ça, si la fonction logarithme vous effraie, vous pouvez toujours ne considérer que le terme de droite tout au long de l'étude.

Nous suivrons le plan d'étude détaillé dans le cours Étude de fonction

Commençons donc par préciser le domaine de définition de la fonction: ln est défini pour x>0 et le dénominateur de la fraction rationnelle doit être non nul, donc f est définie en tout réel x différent de zéro.
Le domaine de continuité est le même (mêmes explications qu'au-dessus). De plus on peut prolonger f par continuité en zéro en posant f définie par l'expression pour x différent de zéro et f(0)=0 (car $lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$ ). On n'étudiera toutefois f que pour x différent de zéro.
On essaie de simplifier l'étude: on étudie f en -x, car la forme de f y incite, mais on ne cherche pas de périodicité: il est intuitif de voir que f n'a pas de périodicité apparente. on voit que f(-x) est différent de f(x), ET (il ne faut pas l'oublier) le domaine d'étude de f est symétrique par rapport à 0. Il n'y a aucune propriété de parité donc on étudie f sur les deux intervalles cités
Le domaine de dérivabilité est le même que le domaine de continuité.
On dérive donc f:

$f'(x) = (2n-1)x^{2n-1}ln{x^2} + x^{2n} \frac{2}{x} + \frac{3x^3+x - x^3-x+2}{x^2} = (2n-1)x^{2n-1}(lnx^2+2) + \frac{2x^3+2}{x^2}$

On utilise cette dérivée pour déterminer les variations de la fonction f. Le problème ici, bien sûr, est que cette expression est difficilement utilisable. Tout d'abord, pour x positif, f'(x) est aussi positif. Cela nécessite un peu de réflexion pour x<1, car le ln est négatif, mais a trop peu d'influence. Et surtout il faut le montrer. on regardera f'(x) pour x<1/e. Pour -1/e <= x <= 0 f'(x) est toujours négatif. Pour x<-1/e, par contre, cela est douteux et il y a même une valeur de x à partir de laquelle (pour x plus petit) on aura f'(x)>0. Nous allons détailler ces résultats, nécessitant une seconde dérivation.

$f''(x) = (2n-2)(2n-1)x^{2n-2}(lnx^2+2) + (2n-1)x^{2n-1}\frac{2}{x} + 2 - \frac{4}{x^3}$

$f''(x) = (2n-1)x^{2n-2}( 2(n-1)(ln{x^2}+2) + 2) + \frac{2x^3-4}{x^3}$

Pour x<1/e on voit que $(l n x 2 - 2)$ est inférieur à 1, et donc le premier terme, à gauche, est négatif (pour n>=2).

Pour plus de précisions sur l'exemple ou des illustrations d'autres propriétés n'hésitez pas à demander: Écrivain!