Équations et fonctions de second degré/Somme et produit des racines

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**Somme et produit des racines**
Leçon : Équations et fonctions de second degré

Chapitre 6
Chap. préc. :	Fonctions trinôme et complexes

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Équations et fonctions de second degré/Somme et produit des racines », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Relations coefficients-racines

Théorème

Soit $f:x\mapsto ax^2+bx+c$ une fonction trinôme possédant deux racines x₁ et x₂.

On vérifie facilement les deux relations suivantes, appelées relations coefficients-racines :

$x_1+x_2=-\frac ba$
$x_1x_2=\frac ca$

[modifier] Utilité

Ces relations présentent deux utilités principales :

Calculer une racine de la fonction trinôme quand on connaît déjà l'autre
Résoudre quelques systèmes non linéaires.

Résolution d'un certain type de système non linéaire

Supposons que l'on soit confronté au système (S) suivant, d'inconnues X et Y réelles ou complexes :

$(S)~:~\begin{cases}X+Y=5\\XY=6\end{cases}$

Soit on voit que les couples (3,2) et (2,3) sont solution, soit on ne le voit pas...

Si on ne le voit pas, on suit la méthode suivante :

Il existe une unique fonction polynomiale $f:t\mapsto t^2+bt+c$ dont les racines sont X et Y.
Cette fonction f vérifie les relations coefficients-racines :
- $5=X+Y=-b\,$
- $6=XY=c\,$
Donc pour tout $t\in\R,~f(t)=t^2-5t+6$
Maintenant que l'on connaît f explicitement, on peut calculer ses racines (discriminant, etc...)
On trouve finalement que les racines de f sont 2 et 3.
Comme (S) est parfaitement symétrique en X et Y, l'ensemble des solutions de (S) est donc $\{(2,3);(3,2)\}\,$ .