Équations et fonctions de second degré/Inéquations du second degré

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**Inéquations du second degré**
Leçon : Équations et fonctions de second degré

Chapitre 3
Chap. préc. :	Équations du second degré
Chap. suiv. :	Factorisation d'un trinôme

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Équations et fonctions de second degré/Inéquations du second degré », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Ce chapitre s'intéresse à l'étude des inéquations du second degré, comme $(I)~:~2x^2-3x+1\leq0$ d'inconnue x.

[modifier] Signe d'un trinôme

Résolution d'une inéquation du second degré

On sait, pour une fonction trinôme donnée, déterminer :

ses variations
ses racines

À partir de ces renseignements, on peut établir le tableau de signes de la fonction trinôme.

[modifier] Discriminant nul (Δ = 0)

Si $a>0\,$

$\begin{array}{c|ccccc|} x&-\infty&&\displaystyle{-\frac b{2a}}&&+\infty\\ &&&&&\\ \hline \textrm{Signe~de}~f(x)&&+&0&+&\\ \hline \end{array}$

Si $a<0\,$

$\begin{array}{c|ccccc|} x&-\infty&&\displaystyle{-\frac b{2a}}&&+\infty\\ &&&&&\\ \hline \textrm{Signe~de}~f(x)&&-&0&-&\\ \hline \end{array}$

[modifier] Discriminant strictement positif (Δ > 0)

Si $a>0\,$

$\begin{array}{c|ccccccc|} x&-\infty&&\displaystyle{\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}&&\displaystyle{\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}& &+\infty\\ &&&&&&&\\ \hline \textrm{Signe~de}~f(x)&&+&0&-&0&+&\\ \hline \end{array}$

Si $a<0\,$

$\begin{array}{c|ccccccc|} x&-\infty&&\displaystyle{\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}&&\displaystyle{\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}& &+\infty\\ &&&&&&&\\ \hline \textrm{Signe~de}~f(x)&&-&0&+&0&-&\\ \hline \end{array}$

[modifier] Discriminant strictement négatif (Δ < 0)

Si $a>0\,$

$\begin{array}{c|ccc|} x&-\infty&&+\infty\\ \hline \textrm{Signe~de}~f(x)&&+&\\ \hline \end{array}$

Si $a<0\,$

$\begin{array}{c|ccc|} x&-\infty&&+\infty\\ \hline \textrm{Signe~de}~f(x)&&-&\\ \hline \end{array}$

[modifier] Résumé

Voir les exercices sur : Situation économique conduisant à une étude de signe.

Résumé

Le trinôme est du signe de a sauf pour les valeurs de x situés entre les racines éventuelles.

[modifier] Application

Donner les tableaux de signes des fonctions suivantes. Vérifier la cohérence avec les courbes obtenues précédemment. Résoudre ensuite pour chaque fonction l'inéquation $f(x)\geq0$ d'inconnue x.