Équations et fonctions de second degré/Fonctions trinôme et complexes

Une page de Wikiversité.

Nuvola apps edu mathematics-p.svg
Cette section nécessite des connaissances sur les nombres complexes, Vous pouvez consulter les cours de la Wikiversité à ce sujet.



Fonctions trinôme et complexes
Nuvola apps edu mathematics-p.svg
Chapitre 5
Leçon : Équations et fonctions de second degré
Chap. préc. : Factorisation d'un trinôme
Chap. suiv. : Somme et produit des racines (13)


Icon falscher Titel.svg

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Équations et fonctions de second degré : Fonctions trinôme et complexes
Équations et fonctions de second degré/Fonctions trinôme et complexes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.


[modifier] Trinômes à coefficients réels

Soit la fonction polynomiale du second degré ƒ définie par pour tout x\in\R,~f(x)=ax^2+bx+c, avec

  • a, b et c trois coefficients réels
  • a non nul.

Lors de la mise sous forme canonique de ƒ, on a vu que (E)~:~f(x)=0\Leftrightarrow\left(x+\frac b{2a}\right)^2=\frac{\Delta}{4a^2}

Si \Delta<0,~(E)\Leftrightarrow x+\frac b{2a}=i\sqrt{-\frac{\Delta}{4a^2}}\textrm{~ou~}x+\frac b{2a}=-i\sqrt{-\frac{\Delta}{4a^2}}


Finalement, le théorème de niveau 11 se généralise de la façon suivante :


Théorème

Le nombre de racines d'un trinôme dépend de son discriminant : \Delta=b^2-4ac^\,

  • Si \Delta>0\, alors le trinôme a deux racines réelles :
x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}
  • Si \Delta=0\, alors le trinôme a une racine réelle :
x_0=-\frac b{2a}
  • Si \Delta<0\, alors le trinôme a deux racines complexes :
x_1=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a} où i^2=-1\,



Exemple

Trouver les racines de la fonction polynomiale f:x\mapsto x^2-2x+2\,.

Le discriminant de ƒ est strictement négatif : \Delta=-4\,, donc ƒ n'admet aucune racine réelle. En revanche, il existe deux racines complexes de ƒ, définies par :

\begin{align}x_1&=\frac{-(-2)-i\sqrt{-\Delta}}{2\times1}\\ &=\frac{2-2i}2\\ &=1-i \end{align}

et

\begin{align}x_2&=\frac{-(-2)+i\sqrt{-\Delta}}{2\times1}\\ &=\frac{2+2i}2\\ &=1+i \end{align}

On peut factoriser ƒ dans \mathbb C :

\begin{align}f_2(x)&=(x-x_1)(x-x_2)\\ &=(x-1+i)(x-1-i)\\ &=\left(x-\sqrt2e^{\frac{-i\pi}4}\right)\left(x-\sqrt2e^{\frac{i\pi}4}\right) \end{align}

[modifier] Trinôme complexe

Toutes les notions que l'on a vues se généralisent dans \mathbb C.

Soit la fonction polynomiale du second degré ƒ définie par pour tout z\in\mathbb C,~f(x)=az^2+bz+c, avec

  • a, b et c trois coefficients complexes
  • a non nul.

Le discriminant de ƒ est défini par \Delta=b^2-4ac^\,.

Si \Delta\not=0\,, Δ admet deux racines carrées complexes distinctes \delta\, et -\delta\,.

  • Nuvola apps edu mathematics.svg Voir le cours sur les complexes pour le rappel de la méthode de calcul des racines carrées d'un complexe.



Théorème

Le nombre de racines d'un trinôme dépend de son discriminant : \Delta=b^2-4ac^\,

  • Si \Delta\not=0\, alors le trinôme a deux racines :
z_1=\frac{-b+\delta}{2a} et z_2=\frac{-b-\delta}{2a}
  • Si \Delta=0\, alors le trinôme a une racine :
z_0=-\frac b{2a}



Exemple

Factoriser la fonction trinôme définie sur \mathbb C par f:z\mapsto z^2-4z+4+2i.

  • Son discriminant vaut :
\begin{align}\Delta&=b^2-4ac\\ &=(-4)^2-4\times1\times(4+2i)\\ &=-8i\end{align}
  • \Delta\not=0 donc Δ admet deux racines carrées distinctes : \delta=2(1-i)\, et -\delta=-2(1-i)\,
  • Les racines de f sont alors :
\begin{align} z_1&=\frac{-b+\delta}{2a}\\ &=\frac{4+2(1-i)}2\\ &=3-i\\ \end{align}

et

\begin{align} z_2&=\frac{-b-\delta}{2a}\\ &=\frac{4-2(1-i)}2\\ &=1+i\\ \end{align}

Donc \forall z\in\mathbb C,~f(z)=(z-(1+i))(z-(3-i))


Crystal Clear action back.png Factorisation d'un trinôme
Récupérée de « http://fr.wikiversity.org/wiki/%C3%89quations_et_fonctions_de_second_degr%C3%A9/Fonctions_trin%C3%B4me_et_complexes »