Équations et fonctions de second degré/Fonctions polynômes du second degré (ou trinômes)

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**Fonctions polynômes du second degré (ou trinômes)**
Leçon : Équations et fonctions de second degré

Chapitre 1
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Sommaire

1 Les fonctions trinôme
2 Être ou ne pas être une fonction trinôme
3 Variations d'une fonction trinôme
4 Représentation graphique d'une fonction trinôme
5 Liens

[modifier] Les fonctions trinôme

Définition

Une fonction polynomiale du second degré, ou fonction trinôme, est une fonction qui peut s'exprimer sous la forme :

$f:x\mapsto ax^2+bx+c$

avec

a, b et c trois coefficients réels
a non nul.

On parle de second degré car la puissance de x la plus élevée est 2.

Pour l'étude générale des fonctions polynomiales du second degré, il est très important de prendre a non nul, sinon on n'aurait plus une fonction du second, mais du premier degré maximum.

De la définition précédente, on déduit qu'une fonction trinôme est définie sur $\R$ tout entier.

[modifier] Être ou ne pas être une fonction trinôme

Écriture des fonctions polynomiales

Il est d'usage d'écrire les fonctions polynomiales par termes de degrés décroissants :

$3x^4+6x^9-2\,$ est mal écrit car le terme de degré 9 est écrit après le terme de degré 4
$-7x^4+8x-\pi\,$ est correctement écrit.

[modifier] Variations d'une fonction trinôme

Définition

Une expression de la forme suivante :

$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\,$

est appelée forme canonique d'un trinôme du second degré.

Théorème

Les variations de la fonction du second degré

définie sur $\R$ par sa forme canonique :

$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\,$

sont données par les tableaux suivants.

Si a > 0

$\begin{array}{c|ccccc|} x&-\infty&&\alpha&&+\infty\\ &&&&&\\ \hline &+\infty&&&&+\infty\\ \textrm{Variations~de}~f&&\searrow&&\nearrow&\\ &&&\beta&&\\ \end{array}$

Si a < 0

$\begin{array}{c|ccccc|} x&-\infty&&\alpha&&+\infty\\ &&&&&\\ \hline &&&\beta&&\\ \textrm{Variations~de}~f&&\nearrow&&\searrow&\\ &-\infty&&&&-\infty\\ \end{array}$

[modifier] Complément : Mise sous forme canonique

Théorème

Toute trinôme du second degré peut se mettre sous forme canonique de la manière suivante :

$ax^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$

[modifier] Complément : Dérivée

Cette section nécessite des connaissances sur les dérivées, de niveau 11. Si vous n'êtes pas de ce niveau, vous pouvez passer directement à la section suivante. Si vous le souhaitez, vous pouvez consulter les cours de la Wikiversité à ce sujet.

Pour trouver le tableau de variation d'une fonction trinôme, il suffit de la dériver. Soit le trinôme $\textstyle{f:x\mapsto ax^2+bx+c}$ où $\textstyle{a}\not=0$ .

Pour tout $x\in\R,~f'(x)=2ax+b\,$ .

La dérivée de f s'annule en $x=-\frac b{2a}$

[modifier] Tableau de variations

Théorème

Le tableau de variations dépend du signe de a.

L'expression de la dérivée permet de distinguer deux cas :

Si a > 0

$\begin{array}{c|ccccc|} x&-\infty&&-\displaystyle{\frac b{2a}}&&+\infty\\ &&&&&\\ \hline \textrm{Signe~de}~f'(x)&&-&0&+&\\ \hline &+\infty&&&&+\infty\\ \textrm{Variations~de}~f&&\searrow&&\nearrow&\\ &&&\displaystyle{\frac{4ac-b^2}{4a}}&&\\ \end{array}$

Si a < 0

$\begin{array}{c|ccccc|} x&-\infty&&-\displaystyle{\frac b{2a}}&&+\infty\\ &&&&&\\ \hline \textrm{Signe~de}~f'(x)&&+&0&-&\\ \hline &&&\displaystyle{\frac{4ac-b^2}{4a}}&&\\ \textrm{Variations~de}~f&&\nearrow&&\searrow&\\ &-\infty&&&&-\infty\\ \end{array}$

[modifier] Construire le tableau de variations d'une fonction trinôme

Donner les tableaux de variations des fonctions suivantes. Vérifier la cohérence avec les courbes obtenues précédemment.

$f_1:x\mapsto 2x^2+3x+1$
$f_2:x\mapsto x^2-2x+2$
$f_3:x\mapsto -x^2+3$
$f_4:x\mapsto -3x^2-x$

Solution

$f_1:x\mapsto 2x^2+3x+1\,$

$\begin{array}{c|ccccc|} x&-\infty&&\displaystyle{-\frac34}&&+\infty\\ &&&&&\\ \hline \textrm{Signe~de}~f_1'(x)&&-&0&+&\\ \hline &+\infty&&&&+\infty\\ \textrm{Variations~de}~f_1&&\searrow&&\nearrow&\\ &&&\displaystyle{-\frac18}&&\\ \end{array}$

$f_2:x\mapsto x^2-2x+2$

$\begin{array}{c|ccccc|} x&-\infty&&1&&+\infty\\ \hline \textrm{Signe~de}~f_2'(x)&&-&0&+&\\ \hline &+\infty&&&&+\infty\\ \textrm{Variations~de}~f_2&&\searrow&&\nearrow&\\ &&&1&&\\ \end{array}$

$f_3:x\mapsto -x^2+3$

$\begin{array}{c|ccccc|} x&-\infty&&0&&+\infty\\ \hline \textrm{Signe~de}~f_3'(x)&&+&0&-&\\ \hline &&&3&&\\ \textrm{Variations~de}~f_3&&\nearrow&&\searrow&\\ &-\infty&&&&-\infty\\ \end{array}$

$f_4:x\mapsto -3x^2-x$

$\begin{array}{c|ccccc|} x&-\infty&&-\displaystyle{\frac16}&&+\infty\\ &&&&&\\ \hline \textrm{Signe~de}~f_4'(x)&&+&0&-&\\ \hline &&&\displaystyle{\frac14}&&\\ \textrm{Variations~de}~f_4&&\nearrow&&\searrow&\\ &-\infty&&&&-\infty\\ \end{array}$

[modifier] Représentation graphique d'une fonction trinôme

[modifier] Allure de la parabole

Voir les exercices sur : Un trinôme issu d'une situation géométrique.

Du tableau de variations trouvé plus haut, on peut déduire la représentation graphique de la fonction trinôme.

Théorème

La représentation graphique d'une fonction trinôme est toujours une parabole.

Le sommet est en bas si a est positif (la courbe fait un sourire).

Le sommet est en haut si a est négatif (la courbe fait la moue).

[modifier] Sommet

Le point de coordonnées $\left(-\frac b{2a};\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$ est le sommet de la parabole.

Si a > 0, alors l'extremum de f est un minimum et le sommet est le point le plus bas de la parabole.
Si a < 0 alors l'extremum de f est un maximum et le sommet est le point le plus haut de la parabole.

[modifier] Représenter graphiquement des fonctions trinômes

Tracer dans un même repère orthonormé les paraboles représentatives des fonctions suivantes.

$f_1:x\mapsto 2x^2+3x+1\,$
$f_2:x\mapsto x^2-2x+2\,$
$f_3:x\mapsto -x^2+3\,$
$f_4:x\mapsto -3x^2-x\,$

Solution

[modifier] Liens

Équation du second degré sur Wikipédia, on y trouve les démonstrations des théorèmes de ce cours. Un peu difficile néanmoins.
Fonction du second degré sur Wikipédia, plus élémentaire que le précédent. Une illustration graphique intéressante

Équations et fonctions de second degré

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Équations du second degré

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[modifier] Les fonctions trinôme

[modifier] Être ou ne pas être une fonction trinôme

[modifier] Variations d'une fonction trinôme

[modifier] Complément : Mise sous forme canonique

[modifier] Complément : Dérivée

[modifier] Tableau de variations

[modifier] Construire le tableau de variations d'une fonction trinôme

[modifier] Représentation graphique d'une fonction trinôme

[modifier] Allure de la parabole

[modifier] Sommet

[modifier] Représenter graphiquement des fonctions trinômes

[modifier] Liens

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