Équations et fonctions de second degré/Factorisation d'un trinôme

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**Factorisation d'un trinôme**
Leçon : Équations et fonctions de second degré

Chapitre 4
Chap. préc. :	Inéquations du second degré
Chap. suiv. :	Fonctions trinôme et complexes (12)

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Équations et fonctions de second degré/Factorisation d'un trinôme », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 Factorisation d'un trinôme
- 1.1 Théorème
- 1.2 Application
2 Factorisation et calcul de racines

[modifier] Factorisation d'un trinôme

[modifier] Théorème

Théorème

Lorsqu'un nombre α est racine d'une fonction trinôme, alors l'expression de cette fonction trinôme peut se factoriser par (x-α).

En d'autres termes, soit ƒ la fonction trinôme $f:x\mapsto ax^2+bx+c\,$ :

Si f possède deux racines x₁ et x₂, on peut factoriser ƒ de la manière suivante : pour tout $x\in\R,~f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\,$
Si f est de discrimnant nul, il admet une racine double x₀ et on peut factoriser f de la manière suivante : pour tout $x\in\R,~f(x)=a(x-x_0)^2\,$
Si f est de discriminant strictement négatif, alors f ne se factorise tout simplement pas dans $\R$ .

[modifier] Application

Factoriser, lorsque c'est possible, les trinômes suivants. On pourra réutiliser les résultats de la page précédente.

$f_1:x\mapsto 2x^2+3x+1$
$f_2:x\mapsto x^2-2x+2$
$f_3:x\mapsto -x^2+3$
$f_4:x\mapsto -3x^2-x$

Solution

Les racines de f₁ sont $x_1=-1\,$ et $x_2=-\frac12$ .

On factorise : pour tout $x\in\R,~f_1(x)=2(x+1)\left(x+\frac12\right)\,$ .

f₂ est de discriminant strictement négatif, donc ne se factorise pas dans $\R$ .

Les racines de f₃ sont $x_1=-\sqrt3$ et $x_2=\sqrt3$ .

On factorise : pour tout $x\in\R,~f_3(x)=(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)$ .

Les racines de f₄ sont $x_1=0\,$ et $x_2=-\frac13$ .

On factorise : pour tout $x\in\R,~f_4(x)=-3x\left(x+\frac13\right)\,$ .

[modifier] Factorisation et calcul de racines

Trouver plus simplement les racines

Parfois, le polynôme admet une racine évidente. Au lieu de se farcir le calcul du discriminant puis celui des racines, il est parfois plus court de factoriser le polynôme en connaissant une racine pour trouver l'autre.

Tout d'abord, qu'est-ce qu'une racine évidente ?

On appelle « racine évidente » toute racine facile à trouver ! En pratique, on essaye pour un trinôme ƒ, de calculer ƒ(0), ƒ(1), et ƒ(-1). Si on trouve 0, on tient une racine de ƒ.

Il devient facile de trouver l'autre racine. Par exemple, prenons la fonction $f:x\mapsto 2x^2+3x+1$ .

On s'aperçoit que $f(-1)=0\,$
On sait alors que ƒ se factorise par (x + 1). Si on note α la deuxième racine de ƒ, on a $f(x)=2(x+1)(x-\alpha)\,$ .
Pour trouver α, on développe le terme constant de ƒ : $2\times1\times(-\alpha)=1$
On en déduit $\alpha=-\frac12$