Équations et fonctions de second degré/Exercices/Situation économique conduisant à une étude de signe

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Situation économique conduisant à une étude de signe
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Exercice 2
Leçon : Équations et fonctions de second degré

Cet exercice est de niveau 11.
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Équations et fonctions de second degré/Exercices/Situation économique conduisant à une étude de signe  », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.



Une entreprise fabrique une quantité x d'un produit, compris dans l'intervalle [0;20].

Le coût de production, exprimé en milliers d'Euros, est donné par f:x\mapsto x^3-30x^2+300x

La production est vendue à un prix unitaire de 84000 €.


  1. Exprimer en fonction de x le chiffre d'affaire total r(x).
  2. Exprimer en fonction de x le bénéfice b(x) = r(x)- f(x) (en déduisant les coûts de production).
  3. Étudier le signe du polynôme b et interpréter le résultat en termes de bénéfice. Pour ce faire :
    1. Mettre x en facteur dans l’expression de b(x).
    2. Étudier le signe du facteur de degré 2.
    3. Étudier alors le signe de b(x).
  4. Conclure en termes de bénéfice.


Solution

1. Exprimer en fonction de x le chiffre d'affaire total r(x).

Une unité est vendue 84000 €.
La fonction r est donc la fonction linéaire définie par r:x\mapsto 84000x (le résultat est exprimé en €)


2. Exprimer en fonction de x le bénéfice b(x) = r(x)- f(x) (en déduisant les coûts de production).

La fonction bénéfice est définie par b:x\mapsto -x^3+30x^2+83700x


3. Étudier le signe du polynôme b et interpréter le résultat en termes de bénéfice.

  • Mettre x en facteur dans l’expression de b(x).
Pour tout x\in\R^+,~b(x)= x(-x^2+30x+83700)
  • Étudier le signe du facteur de degré 2.
Le discriminant du polynôme de degré 2 vaut :
\begin{align} \Delta&=30^2-4\times (-1)\times 83700\\ &=900+334800\\ &=335700 \end{align}
  • Étudier alors le signe de b(x).
On calcule les racines du polynôme :
\begin{align} x_1&=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\\ &=\frac{-30-\sqrt{335700}}{-2}\\ &=\frac{30(1+\sqrt{373})}2\\ &=15(1+\sqrt{373})\\ \end{align}
\begin{align} x_2&=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\\ &=\frac{-30+\sqrt{335700}}{-2}\\ &=\frac{30(1-\sqrt{373})}2\\ &=15(1-\sqrt{373})\\ \end{align}
Comme le coefficient du terme de degré 2 est négatif, le trinôme est positif sur l'intervalle [x_1;x_2]\, et négatif ailleurs. On trace alors le tableau de signes de b. On rappelle qu'on ne s'intéresse qu'aux valeurs x positives, aussi on restreint le tableau à [0;+\infty[.
Si on regarde le signe de x₁ et x₂, on s'aperçoit que x_1\approx 304,7\geq 0 et x_2\approx -274,7 \leq 0


\begin{array}{c|ccccc|} x&0&&15(1+\sqrt{373})&&+\infty\\ \hline \textrm{Signe~de}~-x^2+30x+83700&&+&0&-&\\ \hline \textrm{Signe~de}~x&&+&&+&\\ \hline \textrm{Signe~de}~b(x)&&+&0&-&\\ \hline \end{array}


  • Conclure en termes de bénéfice.
On ne s'intéresse qu'au cas où la société produit une quantité inférieure à 20. Dans ce cas, b reste positive.
L'entreprise est donc rentable.


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