Équations et fonctions de second degré/Exercices/Équations bicarrées

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Équations bicarrées dans R
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Exercice 5
Leçon : Équations et fonctions de second degré

Cet exercice est de niveau 11.
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Équations et fonctions de second degré/Exercices/Équations bicarrées  », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.



Équation bicarrée

Soient a\in\R^*, b\in\R et c\in\R

On appelle équation bicarrée toute équation du quatrième degré de la forme ax^4+bx^2+c=0\, d'inconnue x.



Résolution d'une équation bicarrée

On considère l'équation bicarrée (E)~:~ax^4+bx^2+c=0\, d'inconnue x\in\R.

(E) peut se ramener à l'étude d'une équation du second degré en posant simplement X=x^2\,

(E) devient aX^2+bX+c=0\,.

On déroule alors la méthode habituelle : discriminant, calcul des racines éventuelles…

Toute cette résolution se fait en X. Il faut ensuite revenir en x en utilisant le fait que x^2=X\,.


Voyons les différents cas qui se présentent sur différents exercices.

Sommaire

[modifier] Équation bicarrée 1

Résoudre l'équation bicarrée (E_1)~:~x^4-3x^2+2=0\, d'inconnue x\in\R

Solution

delta= 1 DC x1= 1 x2=2 s= -1; -racine de 2; racine de 2; 1

  • On pose X=x^2\,. L'équation devient (E'_1)~:~X^2-3X+2=0\,
  • Le discriminant vaut \Delta = 1\,
  • \Delta>0\, donc l'équation en X admet deux racines réelles distinctes
X_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=1 et X_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=2


Il faut revenir en x. Pour cela, on cherche les x qui vérifient x^2=X_1\, ou x^2=X_2\,

On trouve ainsi quatre solutions :

  • x_{11}=1~~(x_{11}^2=X_1)
  • x_{12}=-1~~(x_{12}^2=X_1)
  • x_{21}=\sqrt2~~(x_{21}^2=X_2)
  • x_{22}=-\sqrt2~~(x_{22}^2=X_2)


L'ensemble des solutions de (E1) est alors \mathcal S_1=\{-\sqrt2;-1;1;\sqrt2\}

[modifier] Équation bicarrée 2

Résoudre l'équation bicarrée (E_2)~:~2x^4-8\sqrt3x^2+24=0\, d'inconnue x\in\R

Solution
  • On pose X=x^2\,. L'équation devient (E'_2)~:~2X^2-8\sqrt3X+24=0\,
  • Le discriminant vaut \Delta = 0\,, donc l'équation en X admet une racine réelle « double »
X_0=-\frac{b}{2a}=2\sqrt3


Il faut revenir en x. Pour cela, on cherche les x qui vérifient x^2=X_0\,

On trouve ainsi deux solutions :

  • x_1=\sqrt{2\sqrt3}
  • x_2=-\sqrt{2\sqrt3}


L'ensemble des solutions de (E2) est alors \mathcal S_2=\left\{-\sqrt{2\sqrt3};\sqrt{2\sqrt3}\right\}

[modifier] Équation bicarrée 3

Résoudre l'équation bicarrée (E_3)~:~-x^4-6x^2-5=0\, d'inconnue x\in\R

Solution
  • On pose X=x^2\,. L'équation devient (E'_3)~:~-X^2-6X-5=0\,
  • Le discriminant vaut \Delta = 16\,
  • \Delta>0\, donc l'équation en X admet deux racines réelles distinctes
X_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=-1 et X_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=-5


Il faut revenir en x. Pour cela, on cherche les x qui vérifient x^2=X_1\, ou x^2=X_2\,

On trouve ainsi qu'il n'y a pas de solution réelle


L'ensemble des solutions de (E3) est alors \mathcal S_3=\varnothing

[modifier] Équation bicarrée 4

Résoudre l'équation bicarrée (E_4)~:~3x^4+3x^2-6=0\, d'inconnue x\in\R

Solution
  • On pose X=x^2\,. L'équation devient (E'_4)~:~3X^2+3X-6=0\,
  • Le discriminant vaut \Delta = 81\,
  • \Delta>0\, donc l'équation en X admet deux racines réelles distinctes
X_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=1 et X_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=-2


Il faut revenir en x. Pour cela, on cherche les x qui vérifient x^2=X_1\, ou x^2=X_2\,

On trouve ainsi deux solutions :

  • x_{11}=1~~(x_{11}^2=X_1)
  • x_{12}=-1~~(x_{12}^2=X_1)


L'ensemble des solutions de (E4) est alors \mathcal S_4=\{-1;1\}


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