Équations et fonctions de second degré/Équations du second degré

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**Équations du second degré**
Leçon : Équations et fonctions de second degré

Chapitre 2
Chap. préc. :	Fonctions polynômes du second degré (ou trinômes)
Chap. suiv. :	Inéquations du second degré

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Équations et fonctions de second degré/Équations du second degré », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 Définitions
2 Discriminant et racines
3 Conséquences graphiques
4 Application : Trouver les racines d'un trinôme

[modifier] Définitions

Racines d'une fonction polynômiale

Les racines d'une fonction trinôme f sont les solutions de l'équation f(x) = 0.

Graphiquement, ce sont les abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses (horizontal).

Discriminant

Soit f une fonction polynomiale définie par $f:x\mapsto ax^2+bx+c\,$ , avec

a, b, c trois réels
a non nul.

Le discriminant de f est le réel $\Delta=b^2-4ac\,$ .

[modifier] Discriminant et racines

On voudrait maintenant chercher à trouver les racines de f, c'est-à-dire résoudre l'équation f(x)=0, d'inconnue x. On va chercher à exprimer f sous une forme où il sera plus facile de résoudre l'équation. On commence par faire apparaître le début d'un carré parfait :

$\begin{align} f(x)&=ax^2+bx+c\\ &=a\left(x^2+\frac bax+\frac ca\right)\\ &=a\left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\left(\frac b{2a}\right)^2+\frac ca\right]\\ &=a\left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac ca\right]\\ &=a\left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\left(\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)\right]\\ &=a\left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right] \end{align}$

Forme canonique

La fonction trinôme peut également s'écrire pour tout $x\in\R,~f(x)=a\left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right]$ .

Cette forme s'appelle la forme canonique de la fonction trinôme.

Mais à quoi bon cette forme canonique ?

Elle permet de rechercher facilement les racines du trinôme. En effet, on cherche à résoudre l'équation $(E)~:~f(x)=0$ d'inconnue x.

En utilisant la forme canonique : $(E)\Leftrightarrow a\left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right]=0$

Comme $a\not =0,~(E)\Leftrightarrow\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}=0$

Donc $(E)\Leftrightarrow\left(x+\frac b{2a}\right)^2=\frac{\Delta}{4a^2}$

Sous cette forme, il est bien plus simple de résoudre l'équation en faisant différents cas :

Si $\Delta>0~,~(E)\Leftrightarrow x+\frac b{2a}=\sqrt{\frac{\Delta}{4a^2}}\textrm{~ou~}x+\frac b{2a}=-\sqrt{\frac{\Delta}{4a^2}}$ , soit $(E)\Leftrightarrow x=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ ou $x=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0~,~(E)\Leftrightarrow x=-\frac b{2a}$
Si $\Delta<0\,$ , il ne peut pas y avoir de racine réelle, puisqu'un carré ne peut pas être négatif.

Total, voici ce qu'il faut absolument retenir :

Théorème

Le nombre de racines d'un trinôme dépend de son discriminant.

Si $\Delta>0\,$ alors le trinôme a deux racines réelles :

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$

Si $\Delta=0\,$ alors le trinôme a une racine réelle :

$x_0=-\frac b{2a}$

Si $\Delta<0\,$ alors le trinôme n'a pas de racine réelle.

On remarque que dans le cas $\Delta=0\,$ , $x_0=x_1=x_2\,$ . On dit que la racine est double.

[modifier] Conséquences graphiques

Interprétation graphique

Les racines de f correspondent aux abscisses des points d'intersection de $\mathcal C$ , la courbe représentative de f, avec l'axe des abscisses (horizontal).

Si $\Delta<0\,$ alors il n'y a pas d'intersection entre $\mathcal C$ et l'axe des abscisses.
Si $\Delta=0\,$ alors $\mathcal C$ et l'axe des abscisses admettent un point d'intersection, de coordonnées $\left(-\frac b{2a};0\right)$
Si $\Delta>0\,$ alors $\mathcal C$ et l'axe des abscisses admettent deux points d'intersection, de coordonnées $\left(\frac {-b-\sqrt\Delta}{2a};0\right)$ et $\left(\frac {-b+\sqrt\Delta}{2a};0\right)$

Les 6 cas qui peuvent se présenter
	Δ > 0	Δ = 0	Δ < 0
a > 0	Deux racines	Une racine	Pas de racines
a < 0	Deux racines	Une racine	Pas de racines

[modifier] Application : Trouver les racines d'un trinôme

Calculer d'abord le discriminant puis les racines des trinômes suivants. Vérifier la cohérence des résultats avec les courbes tracées plus haut.

$f_1:x\mapsto 2x^2+3x+1$
$f_2:x\mapsto x^2-2x+2$
$f_3:x\mapsto -x^2+3$
$f_4:x\mapsto -3x^2-x$

Solution

$f_1:x\mapsto 2x^2+3x+1$

$\begin{align} \Delta&=b^2-4ac\\ &=3^2-4\times2\times 1\\ &=9-8\\ &=1 \end{align}$

On obtient $\Delta>0\,$ , donc l'équation f₁(x)=0 d'inconnue x admet 2 racines réelles distinctes $x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ .

$\begin{align} x_1&=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\ &=\frac{-3+\sqrt1}{2\times2}\\ &=-\frac24\\ &=-\frac12 \end{align}$

$\begin{align} x_2&=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\ &=\frac{-3-\sqrt1}{2\times2}\\ &=-\frac44\\ &=-1 \end{align}$

$f_2:x\mapsto x^2-2x+2$

$\begin{align} \Delta&=b^2-4ac\\ &=(-2)^2-4\times1\times 2\\ &=4-8\\ &=-4 \end{align}$

On obtient $\Delta<0\,$ , donc l'équation f₂(x)=0 d'inconnue x n'admet aucune racine réelle.

$f_3:x\mapsto -x^2+3$

$\begin{align} \Delta&=b^2-4ac\\ &=0^2-4\times(-1)\times3\\ &=+12 \end{align}$

On obtient $\Delta>0\,$ , donc l'équation f₁(x)=0 d'inconnue x admet 2 racines réelles distinctes $x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ .

$\begin{align} x_1&=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\ &=\frac{-0+\sqrt{12}}{2\times(-1)}\\ &=\frac{2\sqrt3}{-2}\\ &=-\sqrt3 \end{align}$

$\begin{align} x_2&=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\ &=\frac{-0-\sqrt{12}}{2\times(-1)}\\ &=\frac{-2\sqrt3}{-2}\\ &=\sqrt{3}\\ \end{align}$

$f_4:x\mapsto -3x^2-x$

$\begin{align} \Delta&=b^2-4ac\\ &=(-1)^2-4\times(-3)\times0 &=1 \end{align}$

On obtient $\Delta>0\,$ , donc l'équation f₁(x)=0 d'inconnue x admet 2 racines réelles distinctes $x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ .

$\begin{align} x_1&=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\ &=\frac{-(-1)+\sqrt1}{2\times(-3)}\\ &=\frac2{-6}\\ &=-\frac13 \end{align}$

$\begin{align} x_2&=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\ &=\frac{-(-1)-\sqrt1}{2\times(-3)}\\ &=\frac0{-6}\\ &=0 \end{align}$

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