Équation du troisième degré/Exercices/Nombres algébriques du troisième degré

Nombres algébriques du troisième degré

Exercice no8
Leçon : Équation du troisième degré
Chapitre du cours :	Nombres algébriques du troisième degré
Cet exercice est de niveau 13.
Exo préc. :	Sur la résolution trigonométrique
Exo suiv. :	Résolution de problèmes du troisième degré

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Nombres algébriques du troisième degré
Équation du troisième degré/Exercices/Nombres algébriques du troisième degré  », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Exercice 8-1

Calculer le polynôme minimal sur Q[x] des nombres :

$\alpha = \sqrt[3]{5 + i\sqrt{2}} + \sqrt[3]{5 - i\sqrt{2}} ~$

$\beta = \sqrt[3]{2 + \sqrt{3}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{3}} ~$

Solution

La forme de ces nombres nous rappelle la forme des solutions données par la méthode de Cardan des équations du troisième degré. Nous rechercherons donc des polynômes minimals du troisième degré.

Pour α.

En utilisant l'identité remarquable :

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 +b^3 ~$

Nous obtenons :

$\alpha^3 = (5 + i\sqrt{2}) + 3\sqrt[3]{5 + i\sqrt{2}}^2\sqrt[3]{5 - i\sqrt{2}} + 3\sqrt[3]{5 + i\sqrt{2}}\sqrt[3]{5 - i\sqrt{2}}^2 + (5 - \sqrt{2}) ~$

Qui peut s'écrire :

$\alpha^3 = 10 + 3\sqrt[3]{(5 + i\sqrt{2}) (5 + i\sqrt{2})(5 - i\sqrt{2}) } + 3\sqrt[3]{(5 + i\sqrt{2})(5 - i\sqrt{2})(5 - i\sqrt{2})} ~$

Comme :

$\left(5 + i\sqrt{2}\right)\left(5 - i\sqrt{2}\right) = 5^2 - \left(i\sqrt{2}\right)^2 = 25 + 2 = 27 ~$

On obtient :

$\alpha^3 = 10 + 3\sqrt[3]{27\left(5 + i\sqrt{2}\right)} + 3\sqrt[3]{27\left(5 - i\sqrt{2}\right)} ~$

puis :

$\alpha^3 = 10 + 9\sqrt[3]{5 + i\sqrt{2}} + 9\sqrt[3]{5 - i\sqrt{2}} ~$

Qui s'écrit :

$\alpha^3 = 10 + 9\left(\sqrt[3]{5 + i\sqrt{2}} + \sqrt[3]{5 - i\sqrt{2}}\right) ~$

On reconnait α en facteur de 9. Donc :

$\alpha^3 = 10 + 9\alpha ~$

En faisant tout passer dans le premier membre, on obtient :

$\alpha^3 - 9\alpha - 10 = 0 ~$

α est donc racine de l'équation :

$x^3 - 9x - 10 = 0 ~$

Aucun des diviseurs du terme constant 10 n'est racine de l'équation. Par conséquent, le polynôme :

$x^3 - 9x - 10 ~$

est irréductible sur Q[x]. C'est donc bien le polynôme minimal de α.

Pour β.

En utilisant l'identité remarquable :

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 +b^3 ~$

Nous obtenons :

$\beta^3 = (2 + \sqrt{3}) + 3\sqrt[3]{2 + \sqrt{3}}^2\sqrt[3]{2 - \sqrt{3}} + 3\sqrt[3]{2 + \sqrt{3}}\sqrt[3]{2 - \sqrt{3}}^2 + (2 - \sqrt{3}) ~$

Qui peut s'écrire :

$\beta^3 = 4 + 3\sqrt[3]{2 + \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} + 3\sqrt[3]{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} ~$

Comme :

$\left(2 + \sqrt{3}\right)\left(2 - \sqrt{3}\right) = 2^2 - \left(\sqrt{3}\right)^2 = 4 - 3 = 1 ~$

On obtient :

$\beta^3 = 4 + 3\sqrt[3]{2 + \sqrt{3}} + 3\sqrt[3]{2 - \sqrt{3}} ~$

Qui s'écrit :

$\beta^3 = 4 + 3\left(\sqrt[3]{2 + \sqrt{3}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{3}}\right) ~$

On reconnait β en facteur de 3. Donc :

$\beta^3 = 4 + 3\beta ~$

En faisant tout passer dans le premier membre, on obtient :

$\beta^3 - 3\beta - 4 = 0 ~$

β est donc racine de l'équation :

$x^3 - 3x - 4 = 0 ~$

Aucun des diviseurs du terme constant 4 n'est racine de l'équation. Par conséquent, le polynôme :

$x^3 - 3x - 4 ~$

est irréductible sur Q[x]. C'est donc bien le polynôme minimal de β.

Exercice 8-2

On rappelle que le nombre complexe j est défini par :

$j = e^{\frac{2i\pi}{3}} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} ~$

Montrer que le nombre :

$\alpha = 1 + j\sqrt[3]{1-\sqrt{2}} + j^2\sqrt[3]{1+\sqrt{2}} ~$

est un nombre algébrique du troisième degré.

Solution

Compte-tenu que j est une racine cubique de l'unité et compte-tenu de l'expression de α, nous avons :

$\left\{\begin{matrix} j^3 - 1 = 0 \\ j^2\sqrt[3]{1+\sqrt{2}} + j\sqrt[3]{1-\sqrt{2}} + 1 - \alpha = 0 \end{matrix}\right.$

j vérifiant les deux équations ci-dessus, le résultant des deux équations par rapport à j sera nul.

Calculons le résultant des deux équations par rapport à j. Avec les notations du cours, nous aurons :

$a_3 = 1 \quad a_2 = 0 \quad a_1 = 0 \quad a_0 = -1 \quad b_2 = \sqrt[3]{1+\sqrt{2}} \quad b_1 = \sqrt[3]{1-\sqrt{2}} \quad b_0 = 1 - \alpha ~$

Nous aurons alors :

$R_{3-2} = a_3^2b_0^3 + a_0^2b_2^3 + a_2^2b_0^2b_2 + a_1^2b_0b_2^2 + a_1a_3b_0b_1^2 + a_0a_2b_1^2b_2 + 3a_0a_3b_0b_1b_2 ... ~$

$...- a_0a_3b_1^3 - 2a_1a_3b_0^2b_2 - 2a_0a_2b_0b_2^2 - a_2a_3b_0^2b_1 - a_0a_1b_1b_2^2 - a_1a_2b_0b_1b_2 ~$

$. \qquad \quad = (1-\alpha)^3 + 1 + \sqrt{2} + 3(1 - \alpha) + 1 - \sqrt{2} ~$

$. \qquad \quad = 6 - 6\alpha + 3\alpha^2 - \alpha^3 ~$

Le résultant étant nul, nous voyons que α est racine de l'équation :

$x^3 - 3x^2 + 6x - 6 = 0 ~$

Le premier membre de cette équation étant irréductible sur l'ensemble des nombres rationnels, le polynôme :

$x^3 - 3x^2 + 6x - 6 ~$

est donc le polynôme minimal de α qui est donc, par conséquent, un nombre algébrique du troisième degré.

Exercice 8-3

Calculer le polynôme minimal du nombre :

$\alpha = \frac{cos \left( \frac{\pi}{7} \right) }{3 cos \left( \frac{\pi}{7} \right) - 1} ~$

Solution

Tirons cos(kπ/7) de l'expression :

$\alpha = \frac{cos \left( \frac{\pi}{7} \right) }{3 cos \left( \frac{\pi}{7} \right) - 1} ~$

On obtient :

$3\alpha cos \left( \frac{\pi}{7} \right) - \alpha - cos \left( \frac{\pi}{7} \right) = 0 ~$

puis :

$cos \left( \frac{\pi}{7} \right) = \frac{\alpha}{3 \alpha - 1} ~$

comme, d'après le cours :

$2cos \left( \frac{\pi}{7} \right) ~$

admet pour polynôme minimal :

$x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0 ~$

On obtient, en remplaçant :

$\left( \frac{2\alpha}{3 \alpha - 1} \right)^3 - \left( \frac{2\alpha}{3 \alpha - 1} \right)^2 - 2\left( \frac{2\alpha}{3 \alpha - 1} \right) + 1 = 0 ~$

Multiplions ensuite tous les termes par :

$(3\alpha -1)^3 ~$

On obtient :

$8\alpha^3 - 4\alpha^2(3\alpha -1) - 4\alpha(3\alpha -1)^2 + (3\alpha -1)^3 = 0 ~$

Soit, en développant et en multipliant les deux membres par -1 :

$13\alpha^3 - \alpha^2 - 5\alpha + 1 = 0 ~$

Nous voyons que α est racine de l'équation :

$13x^3 - x^2 - 5x + 1 = 0 ~$

Comme 1, -1, 1/13, -1/13 ne sont pas des racines évidentes de cette équation, nous en déduisons que :

$13x^3 - x^2 - 5x + 1 ~$

est un polynôme irréductible sur l'ensemble des rationnels et est par conséquent le polynome minimal de :

$\alpha = \frac{cos \left( \frac{\pi}{7} \right) }{3 cos \left( \frac{\pi}{7} \right) - 1} ~$

Exercice 8-4

Résoudre l'équation :

$7x^2 = \frac{1}{x + 1} ~$

en exprimant les racines comme fonctions homographiques de fonctions de la forme Cosinus.

Solution

L'équation peut s'écrire :

$7x^3 + 7x^2 - 1 = 0 ~$

En l'identifiant avec l'équation générale du troisième degré :

$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ~$

Nous voyons que :

$a = 7 \qquad b = 7 \qquad c = 0 \qquad d = -1 ~$

Calculons le discriminant de l'équation à résoudre :

$\Delta = b^2c^2 + 18abcd - 27a^2d^2 -4ac^3 - 4b^3d = 49 = 7^2 ~$

Nous voyons que l'on peut écrire :

$\sqrt{\Delta} = 7 \times 1^3 ~$

Compte tenu de cette constatation et d'après une propriété du cours, nous tenterons la méthode trigonométrique de Sotta en cos(kπ/7).

La résolvantes trigonométriques en pi/7 :

$(27a^2d + 2b^3 - 9abc + a\epsilon \sqrt{\delta})X^3 + (27abd + 3b^2c - 18ac^2 + b\epsilon \sqrt{\delta})X^2 ~$

$+ (18b^2d - 27acd - 3bc^2 + c \epsilon \sqrt{\delta})X + 9bcd - 27ad^2 - 2c^3 + d \epsilon \sqrt{\delta} = 0 ~$

s'écrit pour ε = 1 :

$-588X^3 - 1274X^2 - 882X -196 =0 \Leftrightarrow 6x^3 + 13x^2 + 9x + 2 = 0 ~$

et pour ε = -1 :

$-686X^3 - 1372X^2 - 882X -182 =0 \Leftrightarrow 49x^3 + 98x^2 + 63x + 13 = 0 ~$

Seule l'équation obtenue pour ε = 1 a des racines évidentes et se factorise. On obtient :

$(x+1)(2x+1)(3x+2) = 0 ~$

On peut donc choisir p et q tel que :

$\frac{p}{q} = -1 ~$

Nous choisirons par exemple :

$p = -1 \qquad q = 1 ~$

Nous choisirons ensuite r et s tel que :

$\frac{r}{s} = \frac{9adp - bcp + 6bdq - 2c^2q + \epsilon.p\sqrt{\delta}}{2b^2p + bcq - 6acp - 9adq + \epsilon.q\sqrt{\delta}} = \frac{14}{-28} = -\frac{1}{2} ~$

Nous choisirons par exemple :

$r = -1 \qquad s = 2 ~$

Nous calculerons ensuite :

$\gamma = b^2p^2+bcpq-3bdq^2+c^2q^2-3acp^2-9adpq = 7 ~$

Les trois racines de l'équation à résoudre sont alors données par :

$\begin{cases} x_1=\frac{2.p.(ps-qr).\epsilon \sqrt{\delta} cos \frac{\pi}{7} - \gamma r }{2.q.(ps-qr).\epsilon \sqrt{\delta} cos \frac{\pi}{7} - \gamma s} \\ x_2= \frac{2.p.(ps-qr).\epsilon \sqrt{\delta} cos \frac{3\pi}{7} - \gamma r }{2.q.(ps-qr).\epsilon \sqrt{\delta} cos \frac{3\pi}{7} - \gamma s}\\ x_3= \frac{2.p.(ps-qr).\epsilon \sqrt{\delta} cos \frac{5\pi}{7} - \gamma r }{2.q.(ps-qr).\epsilon \sqrt{\delta} cos \frac{5\pi}{7} - \gamma s} \end{cases}$

On trouve finalement en remplaçant et en simplifiant :

$\begin{cases} x_1=\frac{2 cos \frac{\pi}{7} + 1}{-2 cos \frac{\pi}{7} - 2} \\ x_2=\frac{2 cos \frac{3\pi}{7} + 1}{-2 cos \frac{3\pi}{7} - 2} \\ x_3=\frac{2 cos \frac{5\pi}{7} + 1}{-2 cos \frac{5\pi}{7} - 2} \end{cases}$

Exercice 8-5

Montrer que :

$x^3 - 3x^2 - x + \frac{1}{3} ~$

est le polynôme minimal des nombres :

$\frac{tan\left(\frac{\pi}{9} \right)}{\sqrt{3}} \qquad \frac{tan\left(\frac{4\pi}{9} \right)}{\sqrt{3}} \qquad \frac{tan\left(\frac{7\pi}{9} \right)}{\sqrt{3}} ~$

Solution

Utilisons la méthode de Sotta pour résoudre l'équation :

$x^3 - 3x^2 - x + \frac{1}{3} = 0 ~$

On a :

$a=1 \quad b = - 3 \quad c = -1 \quad d = \frac{1}{3} ~$

La résolvante de Sotta :

$(b^2 - 3ac)x^2 + (bc - 9ad)x + (c^2 - 3bd) = 0 ~$

S'écrit en remplaçant a, b, c, d par leur valeur :

$12x^2 + 4 = 0 ~$

Qui a pour racine :

$\begin{cases} x_1=\frac{i}{\sqrt{3}}\\ x_2=-\frac{i}{\sqrt{3}} \end{cases} ~$

On peut alors choisir :

$p = i \quad q = \sqrt{3} \quad r = i \quad s = -\sqrt{3} ~$

On en déduit :

$\alpha = s^2(bs + 3ar) = 9\sqrt{3} + 9i ~$

$\beta = q^2(bq + 3ap) = -9\sqrt{3} + 9i ~$

En multipliant ces deux valeurs par 1/18, elles peuvent se simplifier sous la forme :

$\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2} = cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i.sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = e^{i\frac{\pi}{6}} ~$

$\beta = -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2} = cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + i.sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = e^{i\frac{5\pi}{6}} ~$

Les racines de l'équation à résoudre sont donc :

$\begin{cases} x_1= \frac{p\sqrt[3]{\alpha} - r\sqrt[3]{\beta}}{q\sqrt[3]{\alpha} - s\sqrt[3]{\beta} } \\ x_2= \frac{pj\sqrt[3]{\alpha} - r\sqrt[3]{\beta}}{qj\sqrt[3]{\alpha} - s\sqrt[3]{\beta} } \\ x_3= \frac{pj^2\sqrt[3]{\alpha} - r\sqrt[3]{\beta}}{qj^2\sqrt[3]{\alpha} - s\sqrt[3]{\beta} } \end{cases} ~$

C'est-à-dire en remplaçant :

$\begin{cases} x_1= \frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{i\sqrt[3]{e^{i\frac{\pi}{6}} } - i\sqrt[3]{e^{i\frac{5\pi}{6}} }}{\sqrt[3]{e^{i\frac{\pi}{6}} } + \sqrt[3]{e^{i\frac{5\pi}{6}} } } \\ x_2= \frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{i.j\sqrt[3]{e^{i\frac{\pi}{6}} } - i\sqrt[3]{e^{i\frac{5\pi}{6}} }}{j\sqrt[3]{e^{i\frac{\pi}{6}} } + \sqrt[3]{e^{i\frac{5\pi}{6}} } } \\ x_3= \frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{i.j^2\sqrt[3]{e^{i\frac{\pi}{6}} } - i\sqrt[3]{e^{i\frac{5\pi}{6}} }}{j^2\sqrt[3]{e^{i\frac{\pi}{6}} } + \sqrt[3]{e^{i\frac{5\pi}{6}} } } \end{cases} ~$

Sachant que :

$j = e^{\frac{2i\pi}{3}} \quad j^2 = e^{\frac{-2i\pi}{3}} \quad \sqrt[3]{e^{i\frac{\pi}{6}}} = e^{\frac{i\pi}{18}} \quad \sqrt[3]{e^{i\frac{5\pi}{6}}} = e^{\frac{5i\pi}{18}}$

On obtient tout calcul fait :

$\begin{cases} x_1= \frac{i}{\sqrt{3}}.\frac{e^{\frac{i\pi}{18}} - e^{\frac{5i\pi}{18}}}{e^{\frac{i\pi}{18}} + e^{\frac{5i\pi}{18}}} \\ x_2= \frac{i}{\sqrt{3}}.\frac{e^{\frac{13i\pi}{18}} - e^{\frac{5i\pi}{18}}}{e^{\frac{13i\pi}{18}} + e^{\frac{5i\pi}{18}}} \\ x_3= \frac{i}{\sqrt{3}}.\frac{e^{-\frac{11i\pi}{18}} - e^{\frac{5i\pi}{18}}}{e^{-\frac{11i\pi}{18}} + e^{\frac{5i\pi}{18}}} \end{cases} ~$

Multiplions le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par une exponentielle adéquate :

$\begin{cases} x_1= \frac{i}{\sqrt{3}}.\frac{\left(e^{\frac{i\pi}{18}} - e^{\frac{5i\pi}{18}}\right) e^{-\frac{3i\pi}{18}} }{\left(e^{\frac{i\pi}{18}} + e^{\frac{5i\pi}{18}}\right)e^{-\frac{3i\pi}{18}}} \\ x_2= \frac{i}{\sqrt{3}}.\frac{\left(e^{\frac{13i\pi}{18}} - e^{\frac{5i\pi}{18}}\right) e^{-\frac{9i\pi}{18}} }{\left(e^{\frac{13i\pi}{18}} + e^{\frac{5i\pi}{18}}\right) e^{-\frac{9i\pi}{18}} } \\ x_3= \frac{i}{\sqrt{3}}.\frac{\left(e^{-\frac{11i\pi}{18}} - e^{\frac{5i\pi}{18}}\right) e^{\frac{3i\pi}{18}} }{\left(e^{-\frac{11i\pi}{18}} + e^{\frac{5i\pi}{18}}\right) e^{\frac{3i\pi}{18}} } \end{cases} ~$

Ce qui nous donne :

$\begin{cases} x_1= \frac{i}{\sqrt{3}}.\frac{e^{-\frac{i\pi}{9}} - e^{\frac{i\pi}{9}}}{e^{-\frac{i\pi}{9}} + e^{\frac{i\pi}{9}}} \\ x_2= \frac{i}{\sqrt{3}}.\frac{e^{\frac{2i\pi}{9}} - e^{-\frac{2i\pi}{9}}}{e^{\frac{2i\pi}{9}} + e^{-\frac{2i\pi}{9}}} \\ x_3= \frac{i}{\sqrt{3}}.\frac{e^{-\frac{4i\pi}{9}} - e^{\frac{4i\pi}{9}}}{e^{-\frac{4i\pi}{9}} + e^{\frac{4i\pi}{9}}} \end{cases} ~$

En utilisant les formules d'Euler, on obtient :

$\begin{cases} x_1= \frac{i}{\sqrt{3}}.\frac{-2isin(\frac{i\pi}{9}) }{2icos(\frac{i\pi}{9}) } \\ x_2= \frac{i}{\sqrt{3}}.\frac{2isin(\frac{2i\pi}{9}) }{2icos(\frac{2i\pi}{9}) } \\ x_3= \frac{i}{\sqrt{3}}.\frac{-2isin(\frac{4i\pi}{9}) }{2icos(\frac{4i\pi}{9}) } \end{cases} ~$

Et on obtient finalement :

$\begin{cases} x_1= \frac{tan(\frac{i\pi}{9})}{\sqrt{3}} \\ x_2= -\frac{tan(\frac{2i\pi}{9})}{\sqrt{3}} = \frac{tan(\frac{7i\pi}{9})}{\sqrt{3}} \\ x_3= \frac{tan(\frac{4i\pi}{9})}{\sqrt{3}} \end{cases} ~$

Le polynôme :

$x^3 - 3x^2 - x + \frac{1}{3} ~$

Étant irréductible sur l'ensemble des rationnels, on en déduit que c'est bien le polynôme minimal des nombres :

$\frac{tan\left(\frac{\pi}{9} \right)}{\sqrt{3}} \qquad \frac{tan\left(\frac{4\pi}{9} \right)}{\sqrt{3}} \qquad \frac{tan\left(\frac{7\pi}{9} \right)}{\sqrt{3}} ~$

Exercice 8-6

Etablir les relations suivantes :

$\begin{cases} 4sin \frac{\pi}{9} + tan \frac{\pi}{9} - \sqrt{3} = 0 \\ 4tan \frac{4\pi}{9} cos \frac{5\pi}{9} + tan \frac{4\pi}{9} - \sqrt{3} = 0 \\ 4sin \frac{7\pi}{9} + tan \frac{7\pi}{9} - \sqrt{3} = 0 \\ 2tan \frac{\pi}{9} cos \frac{7\pi}{9} - tan \frac{\pi}{9} - 2cos \frac{7\pi}{9} \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0 \\ 2tan \frac{4\pi}{9} cos \frac{\pi}{9} - tan \frac{4\pi}{9} - 2cos \frac{\pi}{9} \sqrt{3} - \sqrt{3}= 0 \\ 2tan \frac{7\pi}{9} cos \frac{5\pi}{9} - tan \frac{7\pi}{9} - 2cos \frac{5\pi}{9} \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0 \\ tan \frac{7\pi}{9} cos \frac{\pi}{9} + tan \frac{7\pi}{9} + cos \frac{\pi}{9} \sqrt{3} = 0 \\ tan \frac{\pi}{9} cos \frac{5\pi}{9} + tan \frac{\pi}{9} + cos \frac{5\pi}{9} \sqrt{3} = 0 \\ tan \frac{4\pi}{9} cos \frac{7\pi}{9} + tan \frac{4\pi}{9} + cos \frac{7\pi}{9} \sqrt{3} = 0 \end{cases}$

Solution

Nous avons vu dans l'exercice 8-5 que :

$\frac{tan\left(\frac{\pi}{9} \right)}{\sqrt{3}} \qquad \frac{tan\left(\frac{4\pi}{9} \right)}{\sqrt{3}} \qquad \frac{tan\left(\frac{7\pi}{9} \right)}{\sqrt{3}} ~$

étaient les trois racines de l'équation :

$x^3 - 3x^2 - x + \frac{1}{3} = 0 ~$

Compte tenu des relations que nous devons établir, nous allons essayer de résoudre cette dernière équation en exprimant les racines comme fonctions homographiques de Cos(kπ/9) à l'aide de la méthode trigonométrique en Cos(kπ/9) et nous identifierons ensuite les racines obtenues avec les racines trouvées dans l'exercice 7-5.

En identifiant notre équation à résoudre avec l'équation générale du troisième degré :

$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ~$

Nous voyons que :

$a = 1 \qquad b = -3 \qquad c = -1 \qquad d = \frac{1}{3} ~$

Calculons le discriminant de l'équation à résoudre :

$\Delta = b^2c^2 + 18abcd - 27a^2d^2 -4ac^3 - 4b^3d = 64 = 8^2 ~$

La résolvantes trigonométriques en pi/9 :

$(27a^2d + 2b^3 - 9abc + 3a\epsilon \sqrt{\delta})X^3 + (27abd + 3b^2c - 18ac^2 + 3b\epsilon \sqrt{\delta})X^2 ~$

$+ (18b^2d - 27acd - 3bc^2 + 3c \epsilon \sqrt{\delta})X + 9bcd - 27ad^2 - 2c^3 + 3d \epsilon \sqrt{\delta} = 0 ~$

s'écrit pour ε = 1 :

$-48X^3 - 144X^2 + 48X + 16 =0 \Leftrightarrow 3x^3 + 9x^2 - 3x - 1 = 0 ~$

et pour ε = -1 :

$-96X^3 + 96X =0 \Leftrightarrow x^3 - x = 0 ~$

Seule l'équation obtenue pour ε = -1 a des racines évidentes et se factorise. On obtient :

$x(x-1)(x+1) = 0 ~$

Premier cas : On peut donc choisir p et q tel que :

$\frac{p}{q} = 0 ~$

Nous choisirons par exemple :

$p = 0 \qquad q = 1 ~$

Nous choisirons ensuite r et s tel que :

$\frac{r}{s} = \frac{9adp - bcp + 6bdq - 2c^2q + \epsilon.p\sqrt{\delta}}{2b^2p + bcq - 6acp - 9adq + \epsilon.q\sqrt{\delta}} = \frac{-8}{-8} = 1 ~$

Nous choisirons par exemple :

$r = 1 \qquad s = 1 ~$

Nous calculerons ensuite :

$\gamma = b^2p^2+bcpq-3bdq^2+c^2q^2-3acp^2-9adpq = 4 ~$

Les trois racines de l'équation à résoudre sont alors données par :

$\begin{cases} x_1=\frac{2.p.(ps-qr).\epsilon \sqrt{\delta} cos \frac{\pi}{7} + \gamma r }{2.q.(ps-qr).\epsilon \sqrt{\delta} cos \frac{\pi}{7} + \gamma s} \\ x_2= \frac{2.p.(ps-qr).\epsilon \sqrt{\delta} cos \frac{3\pi}{7} + \gamma r }{2.q.(ps-qr).\epsilon \sqrt{\delta} cos \frac{3\pi}{7} + \gamma s}\\ x_3= \frac{2.p.(ps-qr).\epsilon \sqrt{\delta} cos \frac{5\pi}{7} + \gamma r }{2.q.(ps-qr).\epsilon \sqrt{\delta} cos \frac{5\pi}{7} + \gamma s} \end{cases}$

On trouve finalement en remplaçant et en simplifiant :

$\begin{cases} x_1=\frac{1}{4cos \frac{\pi}{9} + 1} \\ x_2=\frac{1}{4cos \frac{5\pi}{9} + 1} \\ x_3=\frac{1}{4cos \frac{7\pi}{9} + 1} \end{cases}$

À l'aide d'une calculatrice, nous pouvons identifier ces racines avec les racines déjà connues. On obtient :

$\begin{cases} \frac{tan\left(\frac{\pi}{9} \right)}{\sqrt{3}} = \frac{1}{4cos \frac{\pi}{9} + 1} \\ \frac{tan\left(\frac{4\pi}{9} \right)}{\sqrt{3}} = \frac{1}{4cos \frac{5\pi}{9} + 1} \\ \frac{tan\left(\frac{7\pi}{9} \right)}{\sqrt{3}} = \frac{1}{4cos \frac{7\pi}{9} + 1} \end{cases}$

Ce qui donne :

$\begin{cases} 4sin \frac{\pi}{9} + tan \frac{\pi}{9} - \sqrt{3} = 0 \\ 4tan \frac{4\pi}{9} cos \frac{5\pi}{9} + tan \frac{4\pi}{9} - \sqrt{3} = 0 \\ 4sin \frac{7\pi}{9} + tan \frac{7\pi}{9} - \sqrt{3} = 0 \end{cases}$

Qui sont les trois premières relations que nous devions démontrer.

Deuxième cas : On peut donc choisir p et q tel que :

$\frac{p}{q} = 1 ~$

Nous choisirons par exemple :

$p = 1 \qquad q = 1 ~$

Nous choisirons ensuite r et s tel que :

$\frac{r}{s} = \frac{9adp - bcp + 6bdq - 2c^2q + \epsilon.p\sqrt{\delta}}{2b^2p + bcq - 6acp - 9adq + \epsilon.q\sqrt{\delta}} = \frac{-16}{16} = -1 ~$

Nous choisirons par exemple :

$r = -1 \qquad s = 1 ~$

Nous calculerons ensuite :

$\gamma = b^2p^2+bcpq-3bdq^2+c^2q^2-3acp^2-9adpq = 16 ~$

Les trois racines de l'équation à résoudre sont alors données par :

$\begin{cases} x_1=\frac{2.p.(ps-qr).\epsilon \sqrt{\delta} cos \frac{\pi}{7} + \gamma r }{2.q.(ps-qr).\epsilon \sqrt{\delta} cos \frac{\pi}{7} + \gamma s} \\ x_2= \frac{2.p.(ps-qr).\epsilon \sqrt{\delta} cos \frac{3\pi}{7} + \gamma r }{2.q.(ps-qr).\epsilon \sqrt{\delta} cos \frac{3\pi}{7} + \gamma s}\\ x_3= \frac{2.p.(ps-qr).\epsilon \sqrt{\delta} cos \frac{5\pi}{7} + \gamma r }{2.q.(ps-qr).\epsilon \sqrt{\delta} cos \frac{5\pi}{7} + \gamma s} \end{cases}$

On trouve finalement en remplaçant et en simplifiant :

$\begin{cases} x_1=\frac{2cos \frac{\pi}{9} + 1}{2cos \frac{\pi}{9} - 1} \\ x_2=\frac{2cos \frac{5\pi}{9} + 1}{2cos \frac{5\pi}{9} - 1} \\ x_3=\frac{2cos \frac{7\pi}{9} + 1}{2cos \frac{7\pi}{9} - 1} \end{cases}$

À l'aide d'une calculatrice, nous pouvons identifier ces racines avec les racines déjà connues. On obtient :

$\begin{cases} \frac{tan\left(\frac{\pi}{9} \right)}{\sqrt{3}} = \frac{2cos \frac{7\pi}{9} + 1}{2cos \frac{7\pi}{9} - 1} \\ \frac{tan\left(\frac{4\pi}{9} \right)}{\sqrt{3}} = \frac{2cos \frac{\pi}{9} + 1}{2cos \frac{\pi}{9} - 1}\\ \frac{tan\left(\frac{7\pi}{9} \right)}{\sqrt{3}} = \frac{2cos \frac{5\pi}{9} + 1}{2cos \frac{5\pi}{9} - 1} \end{cases}$

Ce qui donne :

$\begin{cases} 2tan \frac{\pi}{9} cos \frac{7\pi}{9} - tan \frac{\pi}{9} - 2cos \frac{7\pi}{9} \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0 \\ 2tan \frac{4\pi}{9} cos \frac{\pi}{9} - tan \frac{4\pi}{9} - 2cos \frac{\pi}{9} \sqrt{3} - \sqrt{3}= 0 \\ 2tan \frac{7\pi}{9} cos \frac{5\pi}{9} - tan \frac{7\pi}{9} - 2cos \frac{5\pi}{9} \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0 \end{cases}$

qui sont les trois relations intermédiaires que nous devions démontrer.

troisième cas : On peut donc choisir p et q tel que :

$\frac{p}{q} = -1 ~$

Nous choisirons par exemple :

$p = -1 \qquad q = 1 ~$

Nous choisirons ensuite r et s tel que :

$\frac{r}{s} = \frac{9adp - bcp + 6bdq - 2c^2q + \epsilon.p\sqrt{\delta}}{2b^2p + bcq - 6acp - 9adq + \epsilon.q\sqrt{\delta}} = \frac{0}{-32} = 0 ~$

Nous choisirons par exemple :

$r = 0 \qquad s = 1 ~$

Nous calculerons ensuite :

$\gamma = b^2p^2+bcpq-3bdq^2+c^2q^2-3acp^2-9adpq = 16 ~$

Les trois racines de l'équation à résoudre sont alors données par :

$\begin{cases} x_1=\frac{2.p.(ps-qr).\epsilon \sqrt{\delta} cos \frac{\pi}{7} + \gamma r }{2.q.(ps-qr).\epsilon \sqrt{\delta} cos \frac{\pi}{7} + \gamma s} \\ x_2= \frac{2.p.(ps-qr).\epsilon \sqrt{\delta} cos \frac{3\pi}{7} + \gamma r }{2.q.(ps-qr).\epsilon \sqrt{\delta} cos \frac{3\pi}{7} + \gamma s}\\ x_3= \frac{2.p.(ps-qr).\epsilon \sqrt{\delta} cos \frac{5\pi}{7} + \gamma r }{2.q.(ps-qr).\epsilon \sqrt{\delta} cos \frac{5\pi}{7} + \gamma s} \end{cases}$

On trouve finalement en remplaçant et en simplifiant :

$\begin{cases} x_1=\frac{cos \frac{\pi}{9}}{-cos \frac{\pi}{9} - 1} \\ x_2=\frac{cos \frac{5\pi}{9}}{-cos \frac{5\pi}{9} - 1} \\ x_3=\frac{cos \frac{7\pi}{9}}{-cos \frac{7\pi}{9} - 1} \end{cases}$

À l'aide d'une calculatrice, nous pouvons identifier ces racines avec les racines déjà connues. On obtient :

$\begin{cases} \frac{tan\left(\frac{7\pi}{9} \right)}{\sqrt{3}} =\frac{cos \frac{\pi}{9}}{-cos \frac{\pi}{9} - 1} \\ \frac{tan\left(\frac{\pi}{9} \right)}{\sqrt{3}} =\frac{cos \frac{5\pi}{9}}{-cos \frac{5\pi}{9} - 1} \\ \frac{tan\left(\frac{4\pi}{9} \right)}{\sqrt{3}} =\frac{cos \frac{7\pi}{9}}{-cos \frac{7\pi}{9} - 1} \end{cases}$

Ce qui donne :

$\begin{cases} tan \frac{7\pi}{9} cos \frac{\pi}{9} + tan \frac{7\pi}{9} + cos \frac{\pi}{9} \sqrt{3} = 0 \\ tan \frac{\pi}{9} cos \frac{5\pi}{9} + tan \frac{\pi}{9} + cos \frac{5\pi}{9} \sqrt{3} = 0 \\ tan \frac{4\pi}{9} cos \frac{7\pi}{9} + tan \frac{4\pi}{9} + cos \frac{7\pi}{9} \sqrt{3} = 0 \end{cases}$

Qui sont les trois dernières relations que nous devions démontrer.

Équation du troisième degré

Sur la résolution trigonométrique

Résolution de problèmes du troisième degré