Équation différentielle/Fiche/Équation différentielle du premier ordre
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[modifier] Sans second membre
Soit une équation générale du type
Attention à la notation.
En effet, lorsqu'on travaille sur les équations différentielles, on indique souvent la fonction sans sa variable. Ainsi en écrivant 
, on sous-entend 
.
Il faut s'en souvenir, car on en aura besoin à un moment.
On la transforme afin d'avoir la dérivée de la fonction d'un coté du signe égal, et la fonction elle-même de l'autre coté, ce qui donne :
Ensuite, on passe la fonction et sa dérivée du même coté du signe égal, les constantes de l'autre. On obtient alors :
Afin de simplifier les calculs suivants, on introduit C tel que :
Et on a alors :
On a vu dans le chapitre sur les dérivées que :
![\left[ ln (y) \right]' = \frac {y'}{y}\,](http://upload.wikimedia.org/math/f/6/5/f65e38347eed9767a4719d30712e114c.png)
 |
Et là, il faut faire attention, car la fonction logarithme n'est pas définie partout, mais seulement pour  . |
Si on reprend ce que l'on vient d'écrire, on a donc :
![\left[ ln (y) \right]' = C\,](http://upload.wikimedia.org/math/7/d/a/7da2b5774fbea1874b197b2088f58908.png)
Si on intègre l'équation, il faut faire attention à la variable de la fonction de y que l'on n'a pas écrite.
Rappelez-vous de ce que nous avons dit au départ : "ainsi en écrivant y, on sous entend y(x).". Donc en fait, on a ici :
![\left[ ln \left( y(x) \right) \right]' = C\,](http://upload.wikimedia.org/math/c/0/7/c07d9e74c5d0ef9278d30c84fe6620c4.png)
Après intégration, on obtient :
![\left[ ln \left( y(x) \right) \right] = Cx + Cte\,](http://upload.wikimedia.org/math/2/1/8/2181240bd70ed731ac2ce21c05386f91.png)
Puisque l'on ne veut que y(x) à gauche, il faut éliminer le logarithme en mettant l'équation à l'exponentielle :
![e^{\left[ ln \left( y(x) \right) \right]} = e^{Cx + Cte}\,](http://upload.wikimedia.org/math/7/1/0/7101f492251fb2724904e0e4ed1445c2.png)
Donc :
Il ne reste qu'à connaître un point précis de la fonction y à un x donné pour que l'on puisse fixer la constante.
[modifier] Avec second membre
Soit une équation générale du type
Attention à la notation.
En effet, lorsqu'on travaille sur les équations différentielles, on indique souvent la fonction sans sa variable. Ainsi en écrivant y, on sous-entend y(x).
Il faut s'en souvenir, car on en aura besoin à un moment.
Pour la résoudre facilement, on va faire 2 opérations.
On la transforme pour avoir une équation de type sans second membre, soit :
Et pour résoudre cela, il faut voir le paragraphe précédent qui est clairement expliqué. On obtient donc comme résultat :
mais ce n'est pas fini puisqu'on a fait qu'une solution particulière.
pour cela, on transforme l'équation en :
et on essaie de la résoudre en reprenant la première équation
