Équation différentielle/Exercices/Équation différentielle du premier ordre

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**Équation différentielle du premier ordre**
Leçon : Équation différentielle

Exercice 1
Chapitre du cours :	Équation différentielle du premier ordre
Cet exercice est de niveau 13.

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Équation différentielle/Exercices/Équation différentielle du premier ordre », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Cette page ne traitera que des équations différentielles du premier ordre non linéaires.

Pour les équations différentielles du premier ordre linéaires, voir ce cours et ces exercices.

[modifier] Résolutions avec indices spécifiques

1. $y'=1+x^2-2xy+y^2\,$ (Équation de Riccati).

Pour résoudre, chercher une solution $y_0\,$ puis poser $z=y-y_0\,$ .

2. $x^3\,y' + y^4 = x^2\,y\,$ (Équation différentielle de Bernoulli).

Poser $z=\frac{1}{y^3}\,$ pour se ramener à une équation linéaire (et du premier ordre).

Solution

1. $(E_1) : y'=1+x^2-2xy+y^2\,$ (Équation de Riccati)

$\Leftrightarrow y'=1+(x-y)^2\,$

On pose $z=y-x\,$ ( $\Leftrightarrow y=z+x\,$ )

$(E_1) \Leftrightarrow z'+1=1+z^2\,$

$\Leftrightarrow z'=z^2\,$

$\Leftrightarrow \frac{z'}{z^2}=1\,$ ou $z=0\,$

$\Leftrightarrow -\frac{1}{z}=x+C\,$ ou $z=0\,$

$\Leftrightarrow z=-\frac{1}{x+C}\,$ ou $z=0\,$

Donc $y=x-\frac{1}{x+C}\,$ ou $y=x\,,\, C \in \R\,$

2. $(E_2) : x^3\,y' + y^4 = x^2\,y\,$ (Équation différentielle de Bernoulli).

$\Leftrightarrow \underbrace{x^3\,\frac{y'}{y^4} + 1 = x^2\,\frac{1}{y^3}}_{\left(E_2^*\right)}\,$ ou $y=0\,$

En posant $z=\frac{1}{y^3}=y^{-3}\,$ , alors $z'=-3y'y^{-4}=-\frac{3y'}{y^4}\,$

$(E_2^*) \Leftrightarrow -\frac{1}{3} x^3 z' + 1 = x^2 z\,$

$\Leftrightarrow z' + \frac{3 x^2}{x^3} z = \frac{3}{x^3}\,$

$\Leftrightarrow z' + \frac{3}{x} z = \frac{3}{x^3}\,$

On a donc une équation linéaire du premier ordre, que l'on sait résoudre simplement :

Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $z' + \frac{3}{x} z=0\,$

On pose $a(x)=\frac{3}{x}\,$ .

$\alpha (x)= 3 \ln (x)\,$ en est une primitive.

Donc $y = k\,e^{-\alpha (x)}\,$

$\Leftrightarrow y = \frac{k}{x^3}\,,\,k \in \mathbb{R}\,$

Résolution de l'équation complète $(E_2^*)\,$ :

On applique la méthode de la variation de la constante en posant $z = \frac{k(x)}{x^3}\,$

$z' = \frac{k'(x)}{x^3} - \frac{3\,k(x)}{x^4}\,$

$(E_2^*) \Leftrightarrow \frac{k'(x)}{x^3} - \frac{3\,k(x)}{x^4} + \frac{3}{x}\times\frac{k(x)}{x^3} = \frac{3}{x^3}\,$

$\Leftrightarrow k'(x) = 3\,$

$\Leftrightarrow k(x) = 3x + C\,$

Or $z = \frac{k(x)}{x^3}\,$

Donc $z = \frac{3x+C}{x^3}\,$

Or $z=\frac{1}{y^3} \Leftrightarrow y=\frac{1}{\sqrt[3]{z}}\,$

Donc $y = \frac{x}{\sqrt[3]{3x+C}}\,$ ou $y=0\,,\,C \in \mathbb{R} \,$

[modifier] Méthode des variables séparables

1. $y'=e^{x+y}\,$
2. $y=x^2y'^2\,$

Solution

1. $(E_1) : y'=e^{x+y} \,$
$(E_1) \Leftrightarrow \frac{dy}{dx}=e^{x+y} \,$

$\Leftrightarrow dy=dx \times e^{x+y} \,$

$\Leftrightarrow \frac{dy}{e^y}=dx \times e^x \,$

$\Leftrightarrow e^{-y} dy=e^x dx\,$

$\Leftrightarrow -e^{-y}=e^x+C\,$

$\Leftrightarrow e^{-y}=-e^x-C\,$

Donc $y=-\ln (-e^{-x}-C), C \in \R\,$

2. $(E_2) : y=x^2y'^2 \,$
$(E_2) \Leftrightarrow y' = \pm \sqrt{\frac{y}{x^2}} \,$ que l'on résout sur $]0;+ \infty[\,$ par exemple (problème de définition en 0)