Équation différentielle/Exercices/Équation différentielle du deuxième ordre

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**Équation différentielle du deuxième ordre**
Leçon : Équation différentielle

Exercice 1
Chapitre du cours :	Équation différentielle du deuxième ordre
Cet exercice est de niveau 13.

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Équation différentielle/Exercices/Équation différentielle du deuxième ordre », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Cette page ne traitera que des équations différentielles du deuxième ordre à coefficients non constants.

Pour les équations différentielles du premier ordre linéaires, voir ce cours et ces exercices.

[modifier] Équations à coefficients polynômiaux

1. $(1+x^2)\,y''+xy'-y=0\,$ .

Pour résoudre, poser $y=zx\,$ .

2. $xy''+2\left(x-1\right)y'-4y=0\,$

Pour résoudre, chercher une solution exponentielle ou un polynôme.

Solution de la première équation

1. $(E_1) : (1+x^2)\,y''+xy'-y=0\,$ .

On pose $y=zx\,$

$y'=z'x+z\,$

$y''=z''x+2z'\,$

$(E_1) \Leftrightarrow (1+x^2)(z''x+2z')+x(z'x+z)-zx=0\,$

$\Leftrightarrow z'' + \left(\frac{2}{x}+\frac{x}{1+x^2} \right)z'=0\,$

On a donc une équation différentielle sans second membre, linéaire et du premier ordre en $z'\,$

On pose $a(x)=\frac{2}{x}+\frac{x}{1+x^2}\,$ .

$\alpha (x)= 2 \ln |x| + \frac12 \ln \left|1+x^2\right|\,$ en est une primitive.

Donc $(E_1) \Leftrightarrow z' = \frac{k}{x^2\,\sqrt{1+x^2}}\,$

On pose $\begin{cases} x=\tan (t) \\ x \in\,]0;+\infty[ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t=\arctan (x) \\ t \in\,\left]0;\frac{\pi}{2}\right[ \end{cases}\,$