Équation différentielle/Exercice/Vitesse terminale en chute libre
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| Exercice 8 | |||
| Leçon : Équation différentielle | |||
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| Chapitre du cours : | Résolution de l'équation différentielle y'=ay+b | ||
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Cet exercice est de niveau 12. |
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Équation différentielle/Exercice/Vitesse terminale en chute libre », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Considérons un objet de masse m en chute libre.
Les forces en présence sont, en projection sur l'axe vertical orienté vers le bas :
- le poids :
- Le frottement fluide F de l'air, d'intensité proportionnelle à la vitesse v,
le coefficient de frottement est noté h, donc
Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :
C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants.
- le poids :
- Le frottement fluide F de l'air, d'intensité proportionnelle à la vitesse v, le coefficient de frottement est noté h, donc
Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :
En supposant que l'objet est lâché sans vitesse initiale,
l'objectif est de donner la solution 
exprimant la vitesse du corps en fonction du temps t.
Réécrivons cela sous la même forme que dans la définition :
La solution est, d'après ce qui fut rappelé précédemment, une fonction de la forme :
Supposons que la vitesse soit nulle à l'origine, c'est-à-dire 
.
Cela donne pour la solution générale :
La solution finale au problème est donc :
Réécrivons cela sous la même forme que dans la définition :
La solution est, d'après ce qui fut rappelé précédemment, une fonction de la forme :
Supposons que la vitesse soit nulle à l'origine, ce qui fixe le paramètre A, qui doit alors vérifier :
La solution finale au problème est donc :
Application numérique : Tracer v en fonction de t pour :
