Équation différentielle/Exercice/Sujet de bac S

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Sujet de bac S
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Exercice 9
Leçon : Équation différentielle
Chapitre du cours : Résolution de l'équation différentielle y'=ay+b

Cet exercice est de niveau 12.
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Équation différentielle/Exercice/Sujet de bac S  », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

On considère l'équation différentielle (E) : y'-2y=e^{2x}\,.

1. Démontrer que la fonction u\, définie sur \R par :

u(x)=xe^{2x}\, est solution de (E)\,.

2. Résoudre l'équation différentielle (E_0) : y'-2y=0\,.

3. Démontrer qu'une fonction v\, définie sur \R est solution de (E)\, si et seulement si v-u\, est solution de (E_0)\,.

4. En déduire toutes les solutions de l'équation (E)\,.

5. Déterminer la fonction, solution de (E)\,, qui prend la valeur 1 en 0.

Solution

1. On dérive u(x)=xe^{2x}\, :

u'(x)=e^{2x}+2xe^{2x}\,

On a donc u'-2u=e^{2x}+2xe^{2x}-2xe^{2x}=e^{2x}\,.

u\, est donc bien solution de (E)\,.

2. (E_0) : y'-2y=0 \Rightarrow y'=2y\,

\Rightarrow \frac{y'}{y}=2\, et y \ne 0\,
Donc y=k\,e^{2x}\,

3. v\, est solution de (E) \Leftrightarrow v'-2v = e^{2x}\,

\Leftrightarrow v'-2v=u'-2u\,
\Leftrightarrow v'-u'-2v+2u=0\,
\Leftrightarrow (v-u)'-2(v-u)=0\,
\Leftrightarrow v-u\, est solution de (E_0)\,.

4. v\, est solution de (E) \Leftrightarrow v-u\, est solution de (E_0)\,

\Leftrightarrow v-xe^{2x}\, est solution de (E_0)\,
\Leftrightarrow v-xe^{2x}=ke^{2x}\,
\Leftrightarrow v=(k+x)e^{2x}\,

5. Les solutions de (E)\, s'écrivent sous la forme v=(k+x)e^{2x}\,.

Or il faut v(0)=1 \Rightarrow (k+0)e^0=1\,. Donc k=1\,.

Donc v=(x+1)e^{2x}\,
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