Équation différentielle/Exercice/Charge d'un condensateur

Charge d'un condensateur

Exercice no6
Leçon : Équation différentielle
Chapitre du cours :	Résolution de l'équation différentielle y'=ay+b
Cet exercice est de niveau 12.

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Charge d'un condensateur
Équation différentielle/Exercice/Charge d'un condensateur  », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Un circuit comprend un générateur de force électromotrice $V_{in}\,$, une résistance R et un condensateur C en série.

La tension $V_C$ aux bornes du condensateur est égale à la somme des tensions aux bornes du générateur $V_{in}$ et de la résistance $V_R$, donc :

$V_C(t)+R i(t)=V_{in}\,$.

La charge du condensateur et l'intensité du courant produit sont liés par la relation :

$i(t)=\frac{dq}{dt}(t) =q'(t)\,$.

Expression de $q(t)$.

1. Démontrer que : $Rq'+\frac{1}{C}q=V_{in}\,$.

2. Résoudre cette équation différentielle.

3. Si le condensateur est sans charge initiale, exprimer q en fonction de t.

La constante de temps

1. Déterminer la charge finale Q du condensateur, c'est-à-dire la limite de la fonction q en $+\infty$.

2. On note $\tau=RC$. À quel pourcentage de sa charge maximale Q le condensateur est-il chargé après une durée de charge égale à $\tau$ ; à $5 \tau$ ?

Étude de la fonction q.

1. Dresser le tableau de variation de la fonction q.

2. vérifier que la droite (OT) où $T(\tau,Q)$ est la tangente à la courbe $C_q$ à l'origine O.

3. Tracer $C_q$ , sa tangente en O, son asymptote horizontale dans le cas où $C=1F$, $R=100\Omega$ et $V_{in}=5 V$ pour $t\in [0;5\tau]$.

Étude de l'intensité $i(t)$ et de sa courbe $\Gamma$

1. Démontrer que $i(t)=\frac{E}{R}e^{\frac{-t}{\tau}}\,$.

2. Dresser le tableau de variations de i.

3. Vérifier que la droite (AT') où $T'(\tau;0)$ et où A est le point d'intersection de l'axe des abscisses avec $\Gamma$, est tangente à $\Gamma$ en A.

4. Tracer (AT') et $\Gamma$ dans le cas où $C=1F$, $R=100\Omega$ et $V_{in}=5 V$ pour $t\in [0;5\tau]$.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

1. Expression de $q(t)$.

$V_C(t)+R i(t)=V_{in}\,$.

Or : $q(t)= C V_C(t)$ donc $V_C(t)= \frac{1}{C}q(t)$

De plus : $i(t)=q'(t)\,$

Donc $\frac{1}{C}q(t)+Rq'(t) =V_{in}\,$.

Soit $Rq'+\frac{1}{C}q=V_{in}\,$.