Équation différentielle/Équation différentielle du deuxième ordre

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**Équation différentielle du deuxième ordre**
Leçon : Équation différentielle

Chapitre 6
Chap. préc. :	Équation différentielle linéaire du premier ordre

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Équation différentielle/Équation différentielle du deuxième ordre », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 Équation différentielle linéaire du deuxième ordre avec second membre
- 1.1 Définition
- 1.2 Théorème fondamental : Existence et unicité
2 Équation homogène, résolution
3 Équation complète, résolution

[modifier] Équation différentielle linéaire du deuxième ordre avec second membre

[modifier] Définition

Notations et définitions

On appelle équation différentielle linéaire du second ordre normalisée sur I toute équation de la forme:
$(E) : x''(t) + a(t) x'(t) + b(t) x(t) = c(t)\,$
où I un intervalle de R et a,b,c ∈ C⁰(I,K).

Exemple

$y'' - xy=0\,$ , normalisée sur $\mathbb{R}$
$xy'' - y = 0\,$ , normalisée sur $\mathbb{R}_+^*$ ou $\mathbb{R}_-^*$ .

[modifier] Théorème fondamental : Existence et unicité

Théorème d'existence et d'unicité

Si t₀ ∈ I et (x₀,x₁) ∈ K², l’équation
(E) : $x''(t) + a(t) x'(t) + b(t) x(t) = c(t)\,$
où a,b,c∈ C⁰ (I,K) possède une unique solution, définie sur I, vérifiant la condition initiale :

$x(t_0)= x_0\,$
$x'(t_0) = x_1\,$

[modifier] Équation homogène, résolution

[modifier] Définition

Définition

On appelle Équation homogène associée à l'équation différentielle E normalisée sur I l'équation:
$(E_0) : x''(t) + a(t) x'(t) + b(t) x(t) = 0\,$

L'ensemble des solutions de $(E 0)$ est un K-espace vectoriel de dimension 2.
Ainsi, on peut déterminer l'ensemble des solutions de $(E 0)$ en connaissant 2 solutions particulières linéairement indépendantes.
Toute solution x de $(E 0)$ s'écrit alors : $x = \lambda x_0 + \mu x_1\,$

Démonstration de la dimension

Soit S₀ l'ensemble des solutions de $(E 0)$ , et soit $(x (t 0), x'(t 0))$ , t₀ un système de conditions initiales.
On pose $\Phi : (x(t_0),x'(t_0)) \to x$ , l'application linéaire qui va de $\mathbb{R}^2$ vers S₀.

$Φ$ est un isomorphisme (d'après le théorème d'existence et d'unicité,
donc on a dim $Φ$ =dim S₀ = 2.

[modifier] Le Wronskien

Définition

Soient x₀ et x₁ deux fonctions de classe C¹(I,K), on appelle wronskien de ces deux fonctions l'application : $W(t)=\begin{vmatrix}x_1(t) & x_2(t)\\ x'_1(t)&x'_2(t)\end{vmatrix} = x_1(t)x'_2(t)-x_2(t)x'_1(t)$

Propriété

Soient x₀ et x₁ deux fonctions solutions de $(E 0)$ , alors sont équivalentes les propositions suivantes :

x₀ et x₁ sont linéairement indépendantes
$\forall x \in I, W(x) \ne 0$
$\exist x \in I, W(x) \ne 0$

Démonstration

Le principe de cette démonstration est de démontrer l'équivalence de la négation de ces propositions:
sont équivalentes les propositions suivantes :

x₀ et x₁ sont linéairement dépendantes
$\forall x \in I, W(x) = 0$
$\exist x \in I, W(x) = 0$

[modifier] Résolution par changement de fonction, si on connait une solution particulière

Soit x₀ une solution particulière (souvent trouvée visuellement), de classe $C 2 (I, K)$ , ne s'annulant pas sur I, alors pour trouver une seconde solution linéairement indépendante, on réalise le changement de fonction :
$u = z x_0\,$ , avec z la seconde fonction à trouver, de classe $C 2$ .

On a alors : $u' = z' x_0 + z x_0'\,$ et $u'' = z'' x_0 + 2 z' x_0' + z x_0''\,$

En reportant dans $(E 0)$ , on obtient : $z'' x_0 + (2x_0' + ax_0) z'+ (x_0'' + ax_0' + bx_0) z = 0\,$

Et comme x₀ est solution de $(E 0)$ , alors le terme en z s'annule, et il reste à déterminer z solution de :
$z'' + (2x_0' + ax_0) z' = 0\,$
qui est une équation différentielle linéaire du premier ordre en z' normalisée sur I. On déduit ainsi z en intégrant z'.

[modifier] Équation complète, résolution

Théorème

L'ensemble des solutions d'une équation différentielle du second ordre normalisée sur I forme un espace affine $S=S_0+y_0\,$ , de dimension 2 avec $S 0$ l'ensemble des solutions de l'équation homogène, et $y 0$ une solution particulière de (E).

Démonstration

Posons $\Delta : x \to x''+ax'+bx \,$ . $Δ$ est une application linéaire, car $(E)$ est une équation différentielle linéaire.
L'équation différentielle devient alors : $\Delta [x] = c\,$

Soit y₀ une solution particulière de $(E)$ , on a alors $Δ[y 0] = c$

Soit $\Delta[x]-\Delta[y_0]=\Delta[x-y_0]=0\,$ , car $Δ$ application linéaire.

On a donc : $x-y_0 \in Ker(\Delta)=S_0$ On a de plus dim S = dim S₀ = 2, d'où le résultat.

A présent, on connait 2 solutions particulières x₀ et x₁ de $(E 0)$ .
On sait que toute solution de $(E 0)$ se met sous la forme $x = \lambda x_0 + \mu x_1\,$ ; On applique alors la méthode de variation des 2 constantes pour trouver une solution particulière de $(E)$ .

Équation différentielle

Équation différentielle du premier ordre

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