Équation différentielle/Équation différentielle du premier ordre
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Ce chapitre ne traitera que des équations différentielles du premier ordre non linéaires.
Pour la résolution des équations différentielles linéaires du premier ordre, voir le chapitre 4 de cette leçon.
Ce chapitre est incorrect. Pour une version correcte mais de niveau plus élevé, voir Calcul différentiel#Équations différentielles. |
Équations différentielles non linéaires[modifier | modifier le wikicode]
Cas général[modifier | modifier le wikicode]
forme générale d’une équation différentielle du premier ordre
Une équation différentielle est une équation de la forme
(eq) :
avec ƒ une fonction de dans E, un espace vectoriel normé.
On dira que fonction dérivable de I (intervalle de R) dans E
est une solution de (eq) si pour tout t appartenant à I,
Solution maximale
(Avec les mêmes notations)
On dit que est une solution maximale s'il n'existe pas d'intervalle J contenant strictement I et soit une solution définie sur J telle que .
Théorème de Cauchy-Lipschitz (étendu)
- Toute solution de (E) se prolonge en une solution maximale.
- Une solution maximale est forcément définie sur un ouvert.
- Problème de Cauchy :
Soit , il existe une unique solution maximale telle que .
- Si deux solutions maximales sont égales en un point, elles sont égales en tout point.